no intervalo [0,1].
Precisamos mostrar que o conjunto \mathscr{D}_f de descontinuidades tem conteúdo zero (parte (a)) e então calcular a integral de Riemann \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx (parte (b)).
Usaremos que toda função limitada em [0,1] com conjunto de descontinuidades de conteúdo zero é Riemann–integrável, e que para funções em “degraus” a integral é soma das alturas vezes larguras dos degraus.
Passo 2
Identificamos onde f pode falhar de ser contínua. Em cada intervalo aberto \bigl(\tfrac1{2^{n+1}},\tfrac1{2^n}\bigr) a função é constante, logo contínua ali. Os únicos pontos problemáticos são as fronteiras
x_n=\frac1{2^n},\quad n=1,2,3,\dots,
e talvez x=0.
Para x_n=\tfrac1{2^n} temos \lim_{x\to x_n^-}f(x)=\tfrac1{2^{\,n-1}}\neq\tfrac1{2^n}=\lim_{x\to x_n^+}f(x),
logo salto e descontinuidade em cada x_n.
Em x=0, f(0)=0 e, se x\to0^+ cai em algum degrau \tfrac1{2^n} para n grande, mas \tfrac1{2^n}\to0. Logo \lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0), há continuidade em 0.
Assim
Para mostrar que \mathscr{D}_f tem conteúdo zero, dado \varepsilon>0 cobrimos cada x_n por um intervalo aberto I_n de comprimento \ell_n=\varepsilon/2^n. Então
Isso prova que, para todo \varepsilon>0, existe cobertura de \mathscr{D}_f por intervalos cuja soma dos comprimentos é <\varepsilon. Logo \mathscr{D}_f tem conteúdo zero.
Passo 4
Pelo teorema de Riemann, f é integrável em [0,1]. Para calcular \displaystyle\int_0^1f(x)\,dx somamos as “áreas dos degraus”:
em cada intervalo \bigl(\tfrac1{2^{n+1}},\tfrac1{2^n}\bigr]
a função vale \tfrac1{2^n} e o comprimento do intervalo é