Mostre que o conjunto X=\mathbb{Q} \cap[0,1] não tem conteúdo zero.

Passo 1

O conjunto em questão é
X = \mathbb{Q}\cap[0,1].
Queremos mostrar que X não tem conteúdo zero, isto é, não é possível, dado qualquer \varepsilon>0, cobrir X com um número finito de intervalos cuja soma dos comprimentos fique abaixo de \varepsilon.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que haja uma cobertura finita de X por intervalos abertos
I_{k} = (a_{k},b_{k}),\qquad k=1,\dots,n,
tal que a soma dos comprimentos seja arbitrariamente pequena. Defina
U \;=\;\bigcup_{k=1}^{n} I_{k}.
Como cada I_{k} é aberto, U é aberto e contém todos os pontos racionais de [0,1].

Passo 3

Usamos dois fatos topológicos:
  1. As racionais são densas em \mathbb{R}, logo \overline{X}=[0,1].
  2. Fechamento de união finita é união dos fechamentos, isto é,
\overline{U} = \overline{\bigcup_{k=1}^{n}I_{k}} = \bigcup_{k=1}^{n}\overline{I_{k}} = \bigcup_{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}].
Como X\subset U e U é aberto, temos
\overline{X} \;\subset\; \overline{U} \;\Longrightarrow\; [0,1] \;\subset\;\bigcup_{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}].

Passo 4

A união \bigcup_{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}] contém [0,1], então o comprimento total dessa união é, no mínimo, 1. Como os comprimentos podem se sobrepor, temos sempre
\sum_{k=1}^{n}(b_{k}-a_{k}) \;\ge\; \bigl|\bigcup_{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\bigr| \;\ge\; |[0,1]| = 1.
Logo, qualquer cobertura finita de X por intervalos tem soma dos comprimentos \ge1.

Resposta

O conjunto X=\mathbb{Q}\cap[0,1] não tem conteúdo zero, pois o infimum das somas dos comprimentos de coberturas finitas de X é pelo menos 1, não podendo ser arbitrariamente pequeno.

Exercícios relacionados