Mostre que o conjunto X=\mathbb{Q} \cap[0,1] não tem conteúdo zero.
Passo 1
O conjunto em questão é
X = \mathbb{Q}\cap[0,1].
Queremos mostrar que Xnão tem conteúdo zero, isto é, não é possível, dado qualquer \varepsilon>0, cobrir X com um número finito de intervalos cuja soma dos comprimentos fique abaixo de \varepsilon.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que haja uma cobertura finita de X por intervalos abertos
I_{k} = (a_{k},b_{k}),\qquad k=1,\dots,n,
tal que a soma dos comprimentos seja arbitrariamente pequena. Defina
U \;=\;\bigcup_{k=1}^{n} I_{k}.
Como cada I_{k} é aberto, U é aberto e contém todos os pontos racionais de [0,1].
Passo 3
Usamos dois fatos topológicos:
As racionais são densas em \mathbb{R}, logo \overline{X}=[0,1].
Fechamento de união finita é união dos fechamentos, isto é,
A união \bigcup_{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}] contém [0,1], então o comprimento total dessa união é, no mínimo, 1. Como os comprimentos podem se sobrepor, temos sempre
Logo, qualquer cobertura finita de X por intervalos tem soma dos comprimentos \ge1.
Resposta
O conjunto X=\mathbb{Q}\cap[0,1]não tem conteúdo zero, pois o infimum das somas dos comprimentos de coberturas finitas de X é pelo menos 1, não podendo ser arbitrariamente pequeno.