Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x \sin \frac{1}{x}, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.
Prove que f é integrável.

Passo 1

O enunciado define a função
\displaystyle f(x)=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x},&x\neq0,\\\\ 0,&x=0 \end{cases}
no intervalo [0,1] e pede para provar que f é Riemann-integrável. Vamos usar o Teorema que diz: “toda função contínua em um intervalo fechado é integrável”. Logo, basta mostrar que f é contínua em [0,1].

Passo 2

Mostramos primeiro que f é contínua em qualquer x_0\in(0,1]. Para x_0>0, a função x\mapsto x e a função x\mapsto \sin\frac1x são ambas contínuas em x_0, e o produto de funções contínuas é contínuo. Assim,
\forall x_0\in(0,1],\quad\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Passo 3

Falta verificar a continuidade em x=0. Para isso, note que para x\neq0 vale
\bigl|f(x)-f(0)\bigr|=\bigl|x\sin\tfrac1x-0\bigr|=\bigl|x\sin\tfrac1x\bigr|\le |x|\cdot\underbrace{\bigl|\sin\tfrac1x\bigr|}_{\le1}\le|x|.
Como \lim_{x\to0}|x|=0, segue que
\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0),
logo f é contínua em 0.

Passo 4

Concluímos que f é contínua em todo o intervalo fechado [0,1]. Pelo Teorema de integrabilidade de funções contínuas em intervalo compacto, f é Riemann-integrável em [0,1].

Resposta

A função f é integrável em [0,1] porque é contínua em todo o intervalo.

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