no intervalo [0,1] e pede para provar que f é Riemann-integrável. Vamos usar o Teorema que diz: “toda função contínua em um intervalo fechado é integrável”. Logo, basta mostrar que f é contínua em [0,1].
Passo 2
Mostramos primeiro que f é contínua em qualquer x_0\in(0,1]. Para x_0>0, a função x\mapsto x e a função x\mapsto \sin\frac1x são ambas contínuas em x_0, e o produto de funções contínuas é contínuo. Assim,
Concluímos que f é contínua em todo o intervalo fechado [0,1]. Pelo Teorema de integrabilidade de funções contínuas em intervalo compacto, f é Riemann-integrável em [0,1].
Resposta
A função f é integrável em [0,1] porque é contínua em todo o intervalo.