1. Como podemos aprender que o termo i d \vec{l} representa o papel de fonte do campo magnético?

Passo 1

O enunciado pergunta como identificamos que o elemento de corrente \;i\,d\vec l\;
é, de fato, a “fonte” do campo magnético. O conteúdo aqui é magnetostática e vamos usar tanto a lei de Biot–Savart quanto as leis de Maxwell/Ampère para ver que a corrente é quem gera \vec B.

Passo 2

Apresentamos a lei de Biot–Savart, que dá o campo magnético diferencial \,d\vec B:
d\vec B(\vec r) =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\, \frac{i\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}}
Aqui vemos que cada elemento de corrente i\,d\vec l contribui para d\vec B. Isso já mostra que i\,d\vec l “gera” o campo magnético.

Passo 3

Interpretamos fisicamente: na lei de Biot–Savart o papel de análogo a uma carga elétrica dq no campo elétrico é ocupado por i\,d\vec l. Ou seja, assim como dq é fonte de \vec E, i\,d\vec l é fonte de \vec B.

Passo 4

Mostramos agora a lei de Ampère na forma integral para campos magnéticos estacionários:
\oint_{\mathcal C}\vec B\cdot d\vec l=\mu_{0}\,I_{\rm enc}
O lado direito é a corrente elétrica total I_{\rm enc} que atravessa a superfície limitada por \mathcal C. Novamente a corrente aparece como fonte do “circulação” de \vec B.

Passo 5

No regime estático, a forma diferencial da lei de Ampère (sem deslocamento) é uma das equações de Maxwell:
\nabla\times\vec B=\mu_{0}\,\vec J
onde \vec J é a densidade de corrente. Num fio filamentar temos \vec J\,dV = i\,d\vec l. Logo o termo i\,d\vec l representa exatamente a contribuição local de corrente à fonte de \vec B.

Passo 6

Conectando as duas abordagens:
  • Pela lei de Biot–Savart, i\,d\vec l aparece no integrando que constrói \vec B.
  • Pela lei de Ampère/Maxwell, \vec J (e, assim, i\,d\vec l para fio) é o termo fonte em \nabla\times\vec B.
Em ambas, a corrente elétrica é a “causa” do campo magnético.

Resposta

O elemento de corrente \,i\,d\vec l funciona como fonte do campo magnético porque ele aparece diretamente no integrando da lei de Biot–Savart (que calcula \vec B) e, de forma equivalente, como densidade de corrente \vec J na lei de Ampère diferencial \nabla\times\vec B=\mu_{0}\vec J.

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