Mostre que o corpo dos reais é arquimediano, i.e., dados dois reais
, com
, existe um inteiro
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá dois reais
e
com
e pede para provar que existe um inteiro
tal que
.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são números reais. -
(ou seja, e é maior que ). - Queremos um inteiro
(pode ser tomado como ) com .
O que será usado na resolução (será explicado em detalhe adiante):
- A propriedade de completude dos reais: todo subconjunto não vazio de
que é limitado superiormente tem supremo (menor cota superior). - A definição e a propriedade útil do supremo: se
então, para todo , existe com .
Passo 2
Construção da família de múltiplos de
.
Considere o conjunto
onde
é o conjunto dos naturais. Observações simples:
-
é não-vazio porque (lembre que ). - Se, por hipótese contrária, nenhum inteiro positivo multiplica
para ultrapassar , então para todo vale . Assim seria uma cota superior de .
Passo 3
Uso da completude: existência do supremo.
Assuma, visando contradição, que para todo
temos
. Então
é limitado superiormente (por
), e pelo axioma da completude existe
Vou explicar a propriedade do supremo que vou usar: por definição de supremo, para todo
existe algum elemento
tal que
Em palavras: não existe cota superior menor que
; assim sempre se encontra um elemento de
arbitrariamente próximo (por baixo) de
.
Passo 4
Escolha de
e obtenção de contradição.
Tome
. Como
, isso é permitido. Pela propriedade do supremo existe
tal que
Agora some
aos dois lados desta desigualdade:
Mas isso é impossível, porque
é uma cota superior de
e todos os elementos de
devem ser
. A desigualdade
contradiz que
é uma cota superior.
Passo 5
Conclusão da contradição e existência do inteiro pedido.
A contradição mostra que a hipótese inicial (que para todo
vale
) é falsa. Portanto existe
tal que
Como
, isso prova a existência de um inteiro
com a propriedade pedida.
Passo 6
Comentário didático e exemplo rápido (intuição para a prova).
Intuitivamente: somando
muitas vezes (pois
) acaba-se ultrapassando qualquer valor fixo
. A prova formal usou a completude dos reais (supremo) para transformar essa intuição em contradição se fosse negada. Exemplo numérico simples: se
e
, então
, aqui
. Em prova de exame, o raciocínio padrão é considerar os múltiplos
, aplicar o supremo e usar o argumento com
para obter a contradição.
Resposta
Existe
(logo
) tal que
.