Mostre que o corpo dos reais é arquimediano, i.e., dados dois reais a, b, com 0<a<b, existe um inteiro n tal que n a>b.

Passo 1

O enunciado dá dois reais a e b com 0<a<b e pede para provar que existe um inteiro n tal que n a>b.
Informações relevantes fornecidas:
  • a e b são números reais.
  • 0<a<b (ou seja, a>0 e b é maior que a).
  • Queremos um inteiro n (pode ser tomado como n\in\mathbb{N}) com n a>b.
O que será usado na resolução (será explicado em detalhe adiante):
  • A propriedade de completude dos reais: todo subconjunto não vazio de \mathbb{R} que é limitado superiormente tem supremo (menor cota superior).
  • A definição e a propriedade útil do supremo: se \alpha=\sup S então, para todo \varepsilon>0, existe s\in S com s>\alpha-\varepsilon.

Passo 2

Construção da família de múltiplos de a.
Considere o conjunto
S=\{n a \mid n\in\mathbb{N}\},
onde \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} é o conjunto dos naturais. Observações simples:
  • S é não-vazio porque 1\cdot a=a\in S (lembre que a>0).
  • Se, por hipótese contrária, nenhum inteiro positivo multiplica a para ultrapassar b, então para todo n\in\mathbb{N} vale n a\le b. Assim b seria uma cota superior de S.

Passo 3

Uso da completude: existência do supremo.
Assuma, visando contradição, que para todo n\in\mathbb{N} temos n a\le b. Então S é limitado superiormente (por b), e pelo axioma da completude existe
\alpha=\sup S.
Vou explicar a propriedade do supremo que vou usar: por definição de supremo, para todo \varepsilon>0 existe algum elemento s\in S tal que
s>\alpha-\varepsilon.
Em palavras: não existe cota superior menor que \alpha; assim sempre se encontra um elemento de S arbitrariamente próximo (por baixo) de \alpha.

Passo 4

Escolha de \varepsilon e obtenção de contradição.
Tome \varepsilon=a. Como a>0, isso é permitido. Pela propriedade do supremo existe m\in\mathbb{N} tal que
m a>\alpha-a.
Agora some a aos dois lados desta desigualdade:
m a + a > (\alpha-a)+a \quad\Rightarrow\quad (m+1)a>\alpha.
Mas isso é impossível, porque \alpha é uma cota superior de S e todos os elementos de S devem ser \le\alpha. A desigualdade (m+1)a>\alpha contradiz que \alpha é uma cota superior.

Passo 5

Conclusão da contradição e existência do inteiro pedido.
A contradição mostra que a hipótese inicial (que para todo n\in\mathbb{N} vale n a\le b) é falsa. Portanto existe n\in\mathbb{N} tal que
n a>b.
Como \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}, isso prova a existência de um inteiro n com a propriedade pedida.

Passo 6

Comentário didático e exemplo rápido (intuição para a prova).
Intuitivamente: somando a muitas vezes (pois a>0) acaba-se ultrapassando qualquer valor fixo b. A prova formal usou a completude dos reais (supremo) para transformar essa intuição em contradição se fosse negada. Exemplo numérico simples: se a=0,3 e b=1, então 4a=1,2>b, aqui n=4. Em prova de exame, o raciocínio padrão é considerar os múltiplos n a, aplicar o supremo e usar o argumento com \varepsilon=a para obter a contradição.

Resposta

Existe n\in\mathbb{N} (logo n\in\mathbb{Z}) tal que n a>b.

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