Se
é um conjunto que tem uma cota superior, então
, onde
. Daí se segue que todo conjunto não-vazio, que tem cota superior, tem um sup.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação:
é um subconjunto de que tem uma cota superior. Além disso, consideramos o conjunto
- Pedidos:
- Mostrar que, sob essas hipóteses (assumindo
não-vazio), vale a igualdade
- Usar essa igualdade e o axioma da completude dos reais para concluir que todo conjunto não-vazio que tem cota superior realmente tem um supremo.
- Mostrar que, sob essas hipóteses (assumindo
Observações imediatas (retirei do enunciado): para que
faça sentido precisamos que
seja não-vazio, portanto assumiremos
não-vazio. A conclusão final também se refere explicitamente a conjuntos não-vazios.
Passo 2
Vou lembrar e explicar, de forma direta e intuitiva, as definições que vou usar (essas são as ferramentas que vão permitir uma prova rigorosa).
- Definição de “cota superior”: um número
é uma cota superior de quando
Dizemos que
é limitado superiormente ou “tem cota superior” se existe pelo menos um tal
.
- Definição de “cota inferior”: um número
é uma cota inferior de quando
-
Definição de “supremo” (ou menor cota superior):
é um número tal que -
é cota superior de : ; -
é o menor entre as cotas superiores: se é qualquer cota superior de , então .
-
-
Definição de “ínfimo” (ou maior cota inferior):
é um número tal que -
é cota inferior de : ; -
é o maior entre as cotas inferiores: se é qualquer cota inferior de , então .
-
-
Axioma da completude dos reais (forma usada aqui): todo subconjunto não-vazio de
que é limitado superiormente tem supremo. Equivalentemente (e igualmente válido): todo subconjunto não-vazio de que é limitado inferiormente tem ínfimo. Nós usaremos a segunda forma para concluir a existência de quando soubermos que é não-vazio e limitado inferiormente.
Explicação rápida sobre o papel da negação: trocar
por
inverte desigualdades. Isso vai relacionar cotas superiores de
com cotas inferiores de
.
Passo 3
Primeiros fatos simples que vamos usar na prova:
-
Se
é não-vazio então é não-vazio: de fato, se existe então . -
Se
é cota superior de então é cota inferior de . Prova direta:
Tome um elemento arbitrário. Então para algum . Como é cota superior de temos . Aplicando o sinal negativo e lembrando que multiplicar por inverte desigualdades, obtemos , ou seja . Como isso vale para todo , segue é cota inferior de . -
Recíprocamente, se
é cota inferior de então é cota superior de . A demonstração é análoga: para temos , então , portanto . Logo é cota superior de .
Esses dois fatos mostram uma correspondência natural entre cotas superiores de
e cotas inferiores de
: elas são imagens uma da outra pelo mapa
.
Passo 4
Agora vou provar a igualdade
de forma rigorosa, usando os fatos do passo anterior.
Seja
Vou mostrar que
é o supremo de
. São dois itens a verificar:
-
é cota superior de .
- Tomemos
. Então . Como é uma cota inferior de , temos
Multiplicando por
(e invertendo a desigualdade) obtemos
Como isso vale para todo
, concluímos que
é cota superior de
.
-
é a menor cota superior (ou seja, é o supremo).
- Seja
qualquer cota superior de . Pelo passo anterior, é cota inferior de . Como é o maior entre as cotas inferiores de , temos
Multiplicando por
(invertendo a desigualdade) obtemos
Isso mostra que qualquer cota superior
de
satisfaz
. Logo
é menor ou igual a todas as cotas superiores: é a menor cota superior, isto é,
.
Juntando 1) e 2) obtemos a igualdade desejada:
Passo 5
Agora a consequência: existência do supremo para qualquer conjunto não-vazio limitado superiormente.
-
Hipótese:
é não-vazio e tem cota superior (isto é, existe algum com para todo ). -
Então, como visto no passo 3,
é não-vazio e é cota inferior de . Assim é não-vazio e limitado inferiormente. Pelo axioma da completude (forma usada: todo conjunto não-vazio limitado inferiormente tem ínfimo), existe . -
Pelo passo 4 concluímos então que
ou seja, o supremo de
existe e é dado por
.
Isso prova que todo conjunto não-vazio limitado superiormente possui supremo.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia (apenas para intuir, não são parte da prova formal):
-
Se
então . Temos , e , ok. -
Se
então . Aqui , e , ok.
Esses exemplos mostram que trocar sinais transforma cotas superiores em cotas inferiores e vice-versa, e que a fórmula
é natural e útil.
Resposta
Todo conjunto não-vazio que tem cota superior possui supremo (isto é, existe
).