Se B é um conjunto que tem uma cota superior, então \sup B=-\inf (-B), onde -B=\{x \in \mathbb{R}: x=-b, b \in B\}. Daí se segue que todo conjunto não-vazio, que tem cota superior, tem um sup.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação: B é um subconjunto de \mathbb{R} que tem uma cota superior. Além disso, consideramos o conjunto
- B = \{x\in\mathbb{R} : x = -b,\; b\in B\}.
  • Pedidos:
    1. Mostrar que, sob essas hipóteses (assumindo B não-vazio), vale a igualdade
    \sup B = -\inf(-B).
    1. Usar essa igualdade e o axioma da completude dos reais para concluir que todo conjunto não-vazio que tem cota superior realmente tem um supremo.
Observações imediatas (retirei do enunciado): para que \inf(-B) faça sentido precisamos que -B seja não-vazio, portanto assumiremos B não-vazio. A conclusão final também se refere explicitamente a conjuntos não-vazios.

Passo 2

Vou lembrar e explicar, de forma direta e intuitiva, as definições que vou usar (essas são as ferramentas que vão permitir uma prova rigorosa).
  • Definição de “cota superior”: um número u\in\mathbb{R} é uma cota superior de B quando
\forall b\in B,\quad b \le u.
Dizemos que B é limitado superiormente ou “tem cota superior” se existe pelo menos um tal u.
  • Definição de “cota inferior”: um número \ell\in\mathbb{R} é uma cota inferior de B quando
\forall b\in B,\quad \ell \le b.
  • Definição de “supremo” (ou menor cota superior): \sup B é um número s tal que
    1. s é cota superior de B: \forall b\in B,\; b \le s;
    2. s é o menor entre as cotas superiores: se u é qualquer cota superior de B, então s \le u.
  • Definição de “ínfimo” (ou maior cota inferior): \inf B é um número m tal que
    1. m é cota inferior de B: \forall b\in B,\; m \le b;
    2. m é o maior entre as cotas inferiores: se \ell é qualquer cota inferior de B, então \ell \le m.
  • Axioma da completude dos reais (forma usada aqui): todo subconjunto não-vazio de \mathbb{R} que é limitado superiormente tem supremo. Equivalentemente (e igualmente válido): todo subconjunto não-vazio de \mathbb{R} que é limitado inferiormente tem ínfimo. Nós usaremos a segunda forma para concluir a existência de \inf(-B) quando soubermos que -B é não-vazio e limitado inferiormente.
Explicação rápida sobre o papel da negação: trocar b por -b inverte desigualdades. Isso vai relacionar cotas superiores de B com cotas inferiores de -B.

Passo 3

Primeiros fatos simples que vamos usar na prova:
  • Se B é não-vazio então -B é não-vazio: de fato, se existe b_0\in B então -b_0\in -B.
  • Se u é cota superior de B então -u é cota inferior de -B. Prova direta:
    Tome um elemento arbitrário y\in -B. Então y = -b para algum b\in B. Como u é cota superior de B temos b \le u. Aplicando o sinal negativo e lembrando que multiplicar por -1 inverte desigualdades, obtemos -b \ge -u, ou seja y \ge -u. Como isso vale para todo y\in -B, segue -u é cota inferior de -B.
  • Recíprocamente, se \ell é cota inferior de -B então -\ell é cota superior de B. A demonstração é análoga: para b\in B temos -b\in -B, então \ell \le -b, portanto -\ell \ge b. Logo -\ell é cota superior de B.
Esses dois fatos mostram uma correspondência natural entre cotas superiores de B e cotas inferiores de -B: elas são imagens uma da outra pelo mapa x\mapsto -x.

Passo 4

Agora vou provar a igualdade \sup B = -\inf(-B) de forma rigorosa, usando os fatos do passo anterior.
Seja
m := \inf(-B).
Vou mostrar que -m é o supremo de B. São dois itens a verificar:
  1. -m é cota superior de B.
  • Tomemos b\in B. Então -b\in -B. Como m=\inf(-B) é uma cota inferior de -B, temos
m \le -b.
Multiplicando por -1 (e invertendo a desigualdade) obtemos
-m \ge b.
Como isso vale para todo b\in B, concluímos que -m é cota superior de B.
  1. -m é a menor cota superior (ou seja, é o supremo).
  • Seja u qualquer cota superior de B. Pelo passo anterior, -u é cota inferior de -B. Como m é o maior entre as cotas inferiores de -B, temos
- u \le m.
Multiplicando por -1 (invertendo a desigualdade) obtemos
u \ge -m.
Isso mostra que qualquer cota superior u de B satisfaz u \ge -m. Logo -m é menor ou igual a todas as cotas superiores: é a menor cota superior, isto é, -m=\sup B.
Juntando 1) e 2) obtemos a igualdade desejada:
\sup B = -\inf(-B).

Passo 5

Agora a consequência: existência do supremo para qualquer conjunto não-vazio limitado superiormente.
  • Hipótese: B é não-vazio e tem cota superior (isto é, existe algum u com b\le u para todo b\in B).
  • Então, como visto no passo 3, -B é não-vazio e -u é cota inferior de -B. Assim -B é não-vazio e limitado inferiormente. Pelo axioma da completude (forma usada: todo conjunto não-vazio limitado inferiormente tem ínfimo), existe \inf(-B).
  • Pelo passo 4 concluímos então que
\sup B = -\inf(-B),
ou seja, o supremo de B existe e é dado por -\inf(-B).
Isso prova que todo conjunto não-vazio limitado superiormente possui supremo.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia (apenas para intuir, não são parte da prova formal):
  • Se B=\{1,2,3\} então \sup B = 3. Temos -B=\{-1,-2,-3\}, \inf(-B)=-3 e -\inf(-B)=3, ok.
  • Se B=(0,1)=\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\} então \sup B = 1. Aqui -B=(-1,0), \inf(-B)=-1 e -\inf(-B)=1, ok.
Esses exemplos mostram que trocar sinais transforma cotas superiores em cotas inferiores e vice-versa, e que a fórmula \sup B = -\inf(-B) é natural e útil.

Resposta

\displaystyle \sup B = -\inf(-B).
Todo conjunto não-vazio que tem cota superior possui supremo (isto é, existe \sup B).

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