Problema 14. Mostre que se
é transitivo, então
(a)
é transitivo.
(b)
é transitivo.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas quando uma família de conjuntos
satisfaz que cada membro de
é um conjunto transitivo. Escrevo claramente o que nos dão e o que se pede:
- Dado:
é um conjunto cujos elementos são todos conjuntos transitivos. Em outras palavras, para todo com vale a propriedade de transitividade de (ver definição no próximo passo). - Pedidos:
(a) Mostrar queé transitivo.
(b) Mostrar queé transitivo.
Nada mais será assumido sem explicação; vou trabalhar com definições elementares e provar cada parte passo a passo.
Passo 2
Definição e interpretação (muito explícita) do termo “conjunto transitivo”:
- Dizemos que um conjunto
é transitivo quando vale uma (qualquer) das duas formas equivalentes abaixo: - Para todo elemento
de tem-se . Ou seja, cada elemento de é subconjunto de . - Equivalentemente, para quaisquer conjuntos
e , se e então .
- Para todo elemento
- Explicação em palavras: ser transitivo significa que sempre que um conjunto pertence a um elemento de
, esse conjunto já pertence a diretamente. É uma condição “fechada para elementos de elementos”.
Essas duas formas são equivalentes porque:
- Se
, então, dado com , como temos . - Se a segunda forma vale, então para cada
e para todo temos ; isso é exatamente .
Vou usar a segunda forma (o chamado “element chasing”) porque é a mais direta para provas do tipo “se
e
algo então …”.
Passo 3
Estratégia geral para cada item (modo de provar): usar prova por elementos (element chasing). Em ambas as partes vamos tomar elementos genéricos e mostrar que a condição de transitividade vale.
Para (a) provar que
é transitivo, preciso mostrar:
Lembre-se que
significa que
para todo
. Também usarei que cada
é transitivo.
Para (b) provar que
é transitivo, preciso mostrar:
Lembre-se que
significa que existe
tal que
. Novamente vou usar que esse
é transitivo.
Passo 4
Prova de (a):
é transitivo.
- Pegue elementos arbitrários
e tais que e . - Pelo significado de interseção,
implica que para todo vale . - Seja agora um
arbitrário. Como cada elemento de é, por hipótese, um conjunto transitivo, temos que é transitivo. Aplicando a definição de transitividade de ao par e , obtemos . - Visto que
era arbitrário, concluímos que para todo . Isso significa exatamente que . - Conclusão: sempre que
e então , logo é transitivo.
(Comentário prático: a ideia foi “pegar um conjunto qualquer
da família
— ele é transitivo — então do fato
e
já vem
; como isso vale para todo
da família,
está na interseção”.)
Passo 5
Prova de (b):
é transitivo.
- Pegue
e tais que e . - Pelo significado de união,
implica que existe algum com . - Pela hipótese sobre
, esse particular é transitivo. Portanto, de e segue . - Como
para esse , temos (pois a união contém todos os elementos de todos os membros de ). - Conclusão: sempre que
e então , logo é transitivo.
(Comentário prático: aqui usamos só o fato de que existe um membro
que “contém”
; como esse
é transitivo, ele também contém
, e portanto
entra na união.)
Passo 6
Pequena observação e exemplo para fixar a intuição (opcional, mas útil):
- Se cada elemento de
é transitivo, então elementos “descem” dentro da família: qualquer elemento de um elemento aparece novamente na mesma peça da família, e isso garante que tanto a interseção quanto a união respeitam essa propriedade. - Exemplo concreto simples: tome
. Cada membro é transitivo (a condição é trivial para e para ). Então ambos são transitivos, conforme as provas acima preveem.
Resposta
(a)
é transitivo.
(b) é transitivo.
(b)