Problema 14. Mostre que se A é transitivo, então
(a) \bigcap A é transitivo.
(b) \bigcup A é transitivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas quando uma família de conjuntos A satisfaz que cada membro de A é um conjunto transitivo. Escrevo claramente o que nos dão e o que se pede:
  • Dado: A é um conjunto cujos elementos são todos conjuntos transitivos. Em outras palavras, para todo B com B\in A vale a propriedade de transitividade de B (ver definição no próximo passo).
  • Pedidos:
    (a) Mostrar que \bigcap A é transitivo.
    (b) Mostrar que \bigcup A é transitivo.
Nada mais será assumido sem explicação; vou trabalhar com definições elementares e provar cada parte passo a passo.

Passo 2

Definição e interpretação (muito explícita) do termo “conjunto transitivo”:
  • Dizemos que um conjunto X é transitivo quando vale uma (qualquer) das duas formas equivalentes abaixo:
    1. Para todo elemento y de X tem-se \;y\subseteq X\;. Ou seja, cada elemento de X é subconjunto de X.
    2. Equivalentemente, para quaisquer conjuntos u e v, se u\in v e v\in X então u\in X.
  • Explicação em palavras: ser transitivo significa que sempre que um conjunto pertence a um elemento de X, esse conjunto já pertence a X diretamente. É uma condição “fechada para elementos de elementos”.
Essas duas formas são equivalentes porque:
  • Se \forall y\in X:\;y\subseteq X, então, dado u\in v com v\in X, como v\subseteq X temos u\in X.
  • Se a segunda forma vale, então para cada y\in X e para todo u\in y temos u\in X; isso é exatamente y\subseteq X.
Vou usar a segunda forma (o chamado “element chasing”) porque é a mais direta para provas do tipo “se u\in v e v\in algo então …”.

Passo 3

Estratégia geral para cada item (modo de provar): usar prova por elementos (element chasing). Em ambas as partes vamos tomar elementos genéricos e mostrar que a condição de transitividade vale.
Para (a) provar que \bigcap A é transitivo, preciso mostrar:
\text{se } u\in v \text{ e } v\in \bigcap A \text{ então } u\in \bigcap A.ã
Lembre-se que v\in\bigcap A significa que v\in B para todo B\in A. Também usarei que cada B\in A é transitivo.
Para (b) provar que \bigcup A é transitivo, preciso mostrar:
\text{se } u\in v \text{ e } v\in \bigcup A \text{ então } u\in \bigcup A.ã
Lembre-se que v\in\bigcup A significa que existe B\in A tal que v\in B. Novamente vou usar que esse B é transitivo.

Passo 4

Prova de (a): \bigcap A é transitivo.
  • Pegue elementos arbitrários u e v tais que u\in v e v\in\bigcap A.
  • Pelo significado de interseção, v\in\bigcap A implica que para todo B\in A vale v\in B.
  • Seja agora um B\in A arbitrário. Como cada elemento de A é, por hipótese, um conjunto transitivo, temos que B é transitivo. Aplicando a definição de transitividade de B ao par u\in v e v\in B, obtemos u\in B.
  • Visto que B\in A era arbitrário, concluímos que u\in B para todo B\in A. Isso significa exatamente que u\in\bigcap A.
  • Conclusão: sempre que u\in v e v\in\bigcap A então u\in\bigcap A, logo \bigcap A é transitivo.
(Comentário prático: a ideia foi “pegar um conjunto qualquer B da família A — ele é transitivo — então do fato v\in B e u\in v já vem u\in B; como isso vale para todo B da família, u está na interseção”.)

Passo 5

Prova de (b): \bigcup A é transitivo.
  • Pegue u e v tais que u\in v e v\in\bigcup A.
  • Pelo significado de união, v\in\bigcup A implica que existe algum B\in A com v\in B.
  • Pela hipótese sobre A, esse particular B é transitivo. Portanto, de u\in v e v\in B segue u\in B.
  • Como u\in B para esse B\in A, temos u\in\bigcup A (pois a união contém todos os elementos de todos os membros de A).
  • Conclusão: sempre que u\in v e v\in\bigcup A então u\in\bigcup A, logo \bigcup A é transitivo.
(Comentário prático: aqui usamos só o fato de que existe um membro B que “contém” v; como esse B é transitivo, ele também contém u, e portanto u entra na união.)

Passo 6

Pequena observação e exemplo para fixar a intuição (opcional, mas útil):
  • Se cada elemento de A é transitivo, então elementos “descem” dentro da família: qualquer elemento de um elemento aparece novamente na mesma peça da família, e isso garante que tanto a interseção quanto a união respeitam essa propriedade.
  • Exemplo concreto simples: tome A=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}. Cada membro é transitivo (a condição é trivial para \varnothing e para \{\varnothing\}). Então \bigcap A=\varnothing\quad\text{e}\quad \bigcup A=\{\varnothing\},ambos são transitivos, conforme as provas acima preveem.

Resposta

(a) \bigcap A é transitivo.
(b) \bigcup A é transitivo.

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