Mostre que cos (2 alpha)=cos ^2 alpha-sin ^2 alpha

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente provar a identidade trigonométrica
cos(2α) = cos²(α) − sin²(α)
Conteúdo: trigonometria, mais especificamente a fórmula de adição de ângulos.
O que vamos precisar: a fórmula de cos(A + B) e depois só substituir A = α e B = α.

Passo 2

Vamos lembrar da fórmula de adição de cossenos. Ela diz que, para quaisquer ângulos A e B,
cos(A + B) = cos Acos B ;-;sin Asin B
Essa identidade surge da definição de cosseno e seno no círculo ou de projeções de vetores, mas aqui a gente aceita ela como uma regra básica de soma de ângulos.

Passo 3

Agora, bate certinho: se a gente quer cos(2α), basta ver que 2α = α + α. Então aplica a fórmula com A = α e B = α:
cos(2α) = cos(α + α) = cos αcos α ;-; sin αsin α

Passo 4

Só reescrever os produtos como quadrados:
cos αcos α = cos^2α e sin αsin α = sin^2α
Logo:
cos(2α) = cos^2α - sin^2α

Resposta

boxedcos(2α) = cos^2α - sin^2α

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