Mostre que tan 120^circ=-raiz3 sabendo que tan 60^circ=raiz3

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é mostrar que
tan 120^circ = -raiz3
sabendo que .
Conteúdo envolvido: trigonometria no círculo unitário, especialmente como achar o valor da tangente de um ângulo fora do primeiro quadrante usando ângulo de referência e regras de sinal. Vamos precisar:
  1. Entender que .
  2. Saber a identidade .
  3. Conhecer o valor .

Passo 2

Primeiro, observa que 120^circ = 180^circ - 60^circ fica no segundo quadrante do círculo (entre tan(180^circ - alpha) = -,tan(alpha) e tan(180^circ - alpha) = sen(180^circ - alpha)cos(180^circ - alpha) = senalpha-,cosalpha = -,senalphacosalpha = -,tanalpha ). A gente costuma escrever:
Isso significa que o “ângulo de referência” de é . Em geral, para qualquer , vale a identidade:
Por que isso vale? Rápido resumo da teoria:
  • No círculo unitário, .
  • E .
    Então

Passo 3

Agora aplica a identidade com tan(120^circ) = tanl(180^circ - 60^circr) = -,tan(60^circ) :

Passo 4

Como já sabemos que tan(120^circ) = -,raiz3 , basta substituir:

Resposta

Exercícios relacionados