Mostre que
\cos (2 z)=\left\{\begin{array}{c}\cos ^{2} z-\sin ^{2} z \\\\ 2 \cos ^{2} z-1 \\\\ 1-2 \sin ^{2} z\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica de ângulo duplo
\cos(2z)=\cos^2 z - \sin^2 z = 2\cos^2 z - 1 = 1 - 2\sin^2 z.
Vamos usar a fórmula de Euler para as funções trigonométricas e a relação pitagórica \sin^2 z + \cos^2 z = 1.

Passo 2

Pela fórmula de Euler temos
\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}.
Logo,
\cos(2z) = \frac{e^{i2z} + e^{-i2z}}{2}.
Por outro lado,
\cos^2 z - \sin^2 z = \Bigl(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\Bigr)^{\!2} - \Bigl(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\Bigr)^{\!2}.
Calculando cada termo:
\Bigl(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\Bigr)^{\!2} = \frac{e^{2iz} + 2 + e^{-2iz}}{4}, \quad \Bigl(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\Bigr)^{\!2} = -\frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{4}.
Subtraindo,
\cos^2 z - \sin^2 z = \frac{e^{2iz} + 2 + e^{-2iz}}{4} - \Bigl(-\frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{4}\Bigr) = \frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2} = \cos(2z).

Passo 3

Para obter a forma 2\cos^2 z - 1, partimos de \cos^2 z - \sin^2 z e usamos \sin^2 z + \cos^2 z = 1:
\cos^2 z - \sin^2 z = \cos^2 z - (1 - \cos^2 z) = 2\cos^2 z - 1.

Passo 4

Para chegar à forma 1 - 2\sin^2 z, fazemos
\cos^2 z - \sin^2 z = (1 - \sin^2 z) - \sin^2 z = 1 - 2\sin^2 z.

Resposta

\displaystyle \cos(2z)=\cos^2 z-\sin^2 z=2\cos^2 z-1=1-2\sin^2 z.

Exercícios relacionados