Mostre que
\sin ^{2} \frac{z}{2}=\frac{1-\cos z}{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica de meia-fase
\sin^{2}\frac{z}{2}=\frac{1-\cos z}{2}.
Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno de ângulo duplo e a relação fundamental \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.

Passo 2

Da fórmula de adição de cosseno, com A=B=\theta, segue
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Como \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta, obtemos
\cos(2\theta)=(1-\sin^{2}\theta)-\sin^{2}\theta=1-2\sin^{2}\theta.

Passo 3

Isolando \sin^{2}\theta na expressão anterior, vem
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.

Passo 4

Basta agora fazer a substituição \theta=\tfrac{z}{2}. Assim, 2\theta=z e
\sin^{2}\frac{z}{2}=\frac{1-\cos z}{2},
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\sin^{2}\tfrac{z}{2}=\tfrac{1-\cos z}{2}.

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