Esboce a curva dada em coordenadas polares por
r=1-cos theta
e calcule a área da região limitada por essa curva. Calcule também o comprimento dessa curva, integrando o módulo da velocidade da curva parametrizada:
gamma(t)=((1-cos theta) cos theta,(1-cos theta) sin theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a curva dada pela equação polar $ r = 1 - \cos \theta $, calcular a área que essa curva envolve e também medir o comprimento dessa curva usando uma parametrização. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre coordenadas polares, como calcular áreas em coordenadas polares e como encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação $ r = 1 - \cos \theta $ em coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por um raio $ r $ e um ângulo $ \theta $. A equação $ r = 1 - \cos \theta $ descreve como o raio $ r $ varia conforme o ângulo $ \theta $ muda. Essa curva específica é conhecida como cardioide, que se parece com um coração.

Passo 3

Vamos esboçar a curva para visualizar melhor. Quando $ \theta = 0 $:
theta = 0
Então, o ponto começa na origem. Quando $ \theta = \pi $:
r = 1 - cos 0 = 1 - 1 = 0
E quando $ \theta = 2\pi $:
theta = pi
Com esses pontos, a curva forma uma espécie de dente de serra ou um coração que volta à origem, criando uma volta completa quando $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área limitada por essa curva. A fórmula para a área $ A $ em coordenadas polares é:
A
Substituindo $ r = 1 - \cos \theta $:
A = 12 integral0^2pi r^2 , dtheta
Vamos expandir o quadrado:
r = 1 - cos theta
Então, a integral fica:
A = 12 integral0^2pi (1 - cos theta)^2 , dtheta
Sabemos que:
(1 - cos theta)^2 = 1 - 2cos theta + cos^2 theta
Aplicando isso, e integrando termo a termo:
A = 12 integral0^2pi (1 - 2cos theta + cos^2 theta) dtheta
Calculando cada integral:
integral cos^2 theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4
A = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta - 2 integral0^2pi cos theta , dtheta + integral0^2pi cos^2 theta , dtheta ]
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
Substituindo de volta:
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento da curva. Para isso, usamos a parametrização dada:
gamma(theta) = ( (1 - cos theta)cos theta, , (1 - cos theta)sin theta )
O comprimento $ L $ de uma curva parametrizada é dado por:
L
Primeiro, vamos encontrar a derivada $ \gamma’(\theta) $:
L = integrala^b | gamma'(theta) | , dtheta
Calculando as derivadas:
Para a componente $ x $:
gamma'(theta)
Para a componente $ y $:
gamma'(theta) = ( ddtheta [(1 - cos theta)cos theta], , ddtheta [(1 - cos theta)sin theta] )
Agora, o módulo da velocidade é:
x
Essa expressão pode ser simplificada, mas para facilitar, vamos usar uma propriedade das coordenadas polares para calcular o comprimento da curva:
Em coordenadas polares, o comprimento $ L $ é dado por:
ddtheta [(1 - cos theta)cos theta] = sin theta cos theta + (1 - cos theta)(- sin theta) = sin theta cos theta - sin theta + sin theta cos theta = 2sin theta cos theta - sin theta
Vamos encontrar $ \frac{dr}{d\theta} $:
y
Então:
ddtheta [(1 - cos theta)sin theta] = sin theta sin theta + (1 - cos theta)cos theta = sin^2 theta + cos theta - cos^2 theta
Simplificando dentro da raiz:
| gamma'(theta) | = raiz (2sin theta cos theta - sin theta)^2 + (sin^2 theta + cos theta - cos^2 theta)^2
Portanto:
L
Usando a identidade trigonométrica $ 1 - \cos \theta = 2\sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) $:
L = integral0^2pi raiz ( drdtheta )^2 + r^2 , dtheta
Como $ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) $ é positivo no intervalo $ [0, 2\pi] $, podemos remover o valor absoluto:
drdtheta
Integrando:
r = 1 - cos theta implies drdtheta = sin theta
Aplicando os limites:
L = integral0^2pi raiz (sin theta)^2 + (1 - cos theta)^2 , dtheta

Resposta

A área limitada pela curva $ r = 1 - \cos \theta $ é $ \frac{3\pi}{2} $ e o comprimento dessa curva é $ 8 $ unidades.

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