Esboce a curva dada em coordenadas polares por
e calcule a área da região limitada por essa curva. Calcule também o comprimento dessa curva, integrando o módulo da velocidade da curva parametrizada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a curva dada pela equação polar $ r = 1 - \cos \theta $, calcular a área que essa curva envolve e também medir o comprimento dessa curva usando uma parametrização. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre coordenadas polares, como calcular áreas em coordenadas polares e como encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação $ r = 1 - \cos \theta $ em coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por um raio $ r $ e um ângulo $ \theta $. A equação $ r = 1 - \cos \theta $ descreve como o raio $ r $ varia conforme o ângulo $ \theta $ muda. Essa curva específica é conhecida como cardioide, que se parece com um coração.
Passo 3
Vamos esboçar a curva para visualizar melhor. Quando $ \theta = 0 $:
Então, o ponto começa na origem. Quando $ \theta = \pi $:
E quando $ \theta = 2\pi $:
Com esses pontos, a curva forma uma espécie de dente de serra ou um coração que volta à origem, criando uma volta completa quando $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área limitada por essa curva. A fórmula para a área $ A $ em coordenadas polares é:
Substituindo $ r = 1 - \cos \theta $:
Vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso, e integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento da curva. Para isso, usamos a parametrização dada:
O comprimento $ L $ de uma curva parametrizada é dado por:
Primeiro, vamos encontrar a derivada $ \gamma’(\theta) $:
Calculando as derivadas:
Para a componente $ x $:
Para a componente $ y $:
Agora, o módulo da velocidade é:
Essa expressão pode ser simplificada, mas para facilitar, vamos usar uma propriedade das coordenadas polares para calcular o comprimento da curva:
Em coordenadas polares, o comprimento $ L $ é dado por:
Vamos encontrar $ \frac{dr}{d\theta} $:
Então:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:
Usando a identidade trigonométrica $ 1 - \cos \theta = 2\sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) $:
Como $ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) $ é positivo no intervalo $ [0, 2\pi] $, podemos remover o valor absoluto:
Integrando:
Aplicando os limites:
Resposta
A área limitada pela curva $ r = 1 - \cos \theta $ é $ \frac{3\pi}{2} $ e o comprimento dessa curva é $ 8 $ unidades.