Mostre que as curvas
\alpha(t)=\left(\mathrm{e}^{t}, \mathrm{e}^{2 t}, 1-\mathrm{e}^{t}\right) \text { e } \beta(t)=(\operatorname{sen} t, 1+\cos t, 2 \cos t)
interceptam-se no ponto (1,1,0). Ache, também, o ângulo entre suas tangentes nesse ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas paramétricas e pede duas coisas:
  • Mostrar que elas interceptam-se no ponto (1,1,0).
  • Achar o ângulo entre as tangentes das curvas nesse ponto.
As curvas fornecidas (peguei do enunciado) são
\alpha(t)=\big(\mathrm{e}^{t},\\ \mathrm{e}^{2t},\\\ 1-\mathrm{e}^{t}\big)
e
\beta(u)=\big(\sin u,\\\ 1+\cos u,\\\ 2\cos u\big),
onde troquei a letra do parâmetro da segunda curva para u para não confundir com t. Vou primeiro encontrar os parâmetros em cada curva que geram o ponto (1,1,0) e depois calcular as tangentes (derivadas) nesses parâmetros para achar o ângulo entre elas.

Passo 2

Procurar t tal que \alpha(t)=(1,1,0). Isso dá o sistema coordenada a coordenada:
\mathrm{e}^{t}=1,\qquad \mathrm{e}^{2t}=1,\qquad 1-\mathrm{e}^{t}=0.
Da primeira equação temos \mathrm{e}^{t}=1. Lembrando que \mathrm{e}^{t}=1 ocorre exatamente quando t=0. Verifico as outras duas equações em t=0:
\mathrm{e}^{2\cdot 0}=\mathrm{e}^{0}=1\quad\text{e}\quad 1-\mathrm{e}^{0}=1-1=0.
Portanto t=0 resolve todas as três equações: a curva \alpha passa por (1,1,0) no parâmetro t=0.

Passo 3

Procurar u tal que \beta(u)=(1,1,0). Isso dá o sistema:
\sin u=1,\qquad 1+\cos u=1,\qquad 2\cos u=0.
Da primeira equação \sin u=1 obtemos as soluções gerais u=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Tomando a escolha mais simples u=\dfrac{\pi}{2}, verifico as outras coordenadas:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\quad\Rightarrow\quad 1+\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1+0=1,
2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot 0=0.
Portanto u=\dfrac{\pi}{2} (ou qualquer u=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi) faz \beta(u)=(1,1,0). Logo ambas as curvas passam pelo ponto (1,1,0).

Passo 4

Conclusão parcial (já verificada): as curvas interceptam-se no ponto (1,1,0) — em \alpha no parâmetro t=0 e em \beta no parâmetro u=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Agora achar as tangentes nas curvas nesse ponto. Lembrete didático: a tangente a uma curva paramétrica \gamma(s)=(x(s),y(s),z(s)) em um parâmetro s_0 é dada pelo vetor tangente \gamma'(s_0)=(x'(s_0),y'(s_0),z'(s_0)). Esse vetor aponta na direção da reta tangente à curva. Para comparar direções usamos produtos escalares e normas dos vetores.

Passo 6

Calcular a derivada de \alpha componente a componente:
\alpha'(t)=\big((\mathrm{e}^{t})',\\ (\mathrm{e}^{2t})',\\ (1-\mathrm{e}^{t})'\big).
Derivando:
(\mathrm{e}^{t})'=\mathrm{e}^{t},\qquad (\mathrm{e}^{2t})'=2\mathrm{e}^{2t},\qquad (1-\mathrm{e}^{t})'=-\mathrm{e}^{t}.
Portanto
\alpha'(t)=\big(\mathrm{e}^{t},\\\ 2\mathrm{e}^{2t},\\\ -\mathrm{e}^{t}\big).
Avalio em t=0:
\alpha'(0)=\big(\mathrm{e}^{0},\\\ 2\mathrm{e}^{0},\\\ -\mathrm{e}^{0}\big)=(1,\\\ 2,\\\ -1).

Passo 7

Calcular a derivada de \beta:
\beta'(u)=\big((\sin u)',\\ (1+\cos u)',\\ (2\cos u)'\big).
Derivando:
(\sin u)'=\cos u,\qquad (1+\cos u)'=-\sin u,\qquad (2\cos u)'=-2\sin u.
Assim
\beta'(u)=\big(\cos u,\\\ -\sin u,\\\ -2\sin u\big).
Avalio em u=\dfrac{\pi}{2}:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1,
portanto
\beta'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\big(0,\\\ -1,\\\ -2\big).

Passo 8

Agora o ângulo entre as tangentes: dado dois vetores v e w em \mathbb{R}^3, o cosseno do ângulo \theta entre eles é
\cos\theta=\dfrac{v\cdot w}{\|v\|\\ \|w\|},
onde v\cdot w é o produto escalar e \|v\|=\sqrt{v\cdot v} é a norma. Importante: se v\cdot w=0 então \cos\theta=0 e os vetores são perpendiculares (ângulo \theta=\dfrac{\pi}{2}).
Aplicando com v=\alpha'(0)=(1,2,-1) e w=\beta'(\tfrac{\pi}{2})=(0,-1,-2).

Passo 9

Calcular o produto escalar:
v\cdot w = 1\cdot 0 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot(-2) = 0 -2 +2 = 0.
Como v\cdot w=0, segue que \cos\theta=0. Logo
\theta=\dfrac{\pi}{2}
(ou seja, 90^\circ): as tangentes são perpendiculares. Para completar, se quiser verificar as normas (não necessário para concluir o ângulo neste caso):
\|v\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6},
\|w\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5},
e de fato \dfrac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|}=\dfrac{0}{\sqrt{6}\sqrt{5}}=0.

Resposta

As curvas interceptam-se no ponto (1,1,0).
O ângulo entre as tangentes nesse ponto é \dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ).

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