Mostre que as curvas
interceptam-se no ponto
. Ache, também, o ângulo entre suas tangentes nesse ponto.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas paramétricas e pede duas coisas:
- Mostrar que elas interceptam-se no ponto
. - Achar o ângulo entre as tangentes das curvas nesse ponto.
As curvas fornecidas (peguei do enunciado) são
e
onde troquei a letra do parâmetro da segunda curva para
para não confundir com
. Vou primeiro encontrar os parâmetros em cada curva que geram o ponto
e depois calcular as tangentes (derivadas) nesses parâmetros para achar o ângulo entre elas.
Passo 2
Procurar
tal que
. Isso dá o sistema coordenada a coordenada:
Da primeira equação temos
. Lembrando que
ocorre exatamente quando
. Verifico as outras duas equações em
:
Portanto
resolve todas as três equações: a curva
passa por
no parâmetro
.
Passo 3
Procurar
tal que
. Isso dá o sistema:
Da primeira equação
obtemos as soluções gerais
,
. Tomando a escolha mais simples
, verifico as outras coordenadas:
Portanto
(ou qualquer
) faz
. Logo ambas as curvas passam pelo ponto
.
Passo 4
Conclusão parcial (já verificada): as curvas interceptam-se no ponto
— em
no parâmetro
e em
no parâmetro
.
Passo 5
Agora achar as tangentes nas curvas nesse ponto. Lembrete didático: a tangente a uma curva paramétrica
em um parâmetro
é dada pelo vetor tangente
. Esse vetor aponta na direção da reta tangente à curva. Para comparar direções usamos produtos escalares e normas dos vetores.
Passo 6
Calcular a derivada de
componente a componente:
Derivando:
Portanto
Avalio em
:
Passo 7
Calcular a derivada de
:
Derivando:
Assim
Avalio em
:
portanto
Passo 8
Agora o ângulo entre as tangentes: dado dois vetores
e
em
, o cosseno do ângulo
entre eles é
onde
é o produto escalar e
é a norma. Importante: se
então
e os vetores são perpendiculares (ângulo
).
Aplicando com
e
.
Passo 9
Calcular o produto escalar:
Como
, segue que
. Logo
(ou seja,
): as tangentes são perpendiculares. Para completar, se quiser verificar as normas (não necessário para concluir o ângulo neste caso):
e de fato
.
Resposta
As curvas interceptam-se no ponto
.
O ângulo entre as tangentes nesse ponto é (ou
).
O ângulo entre as tangentes nesse ponto é