Seja
. Se
é o ângulo entre
e o eixo-
, mostre que
. Donde
é constante;
Passo 1
O enunciado dá a curva
com
e
. Pede-se mostrar que, se
é o ângulo entre
e o eixo
, então
e, a partir disso, concluir que
é constante.
Passo 2
Primeiro calculemos a derivada da curva componente a componente. Lembrando que
,
e
, obtemos
Passo 3
Agora vamos usar a definição do cosseno do ângulo entre dois vetores. Seja
um vetor qualquer e seja
o versor (vetor unitário) do eixo
. O cosseno do ângulo
entre
e
é dado por
Aqui
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor. Como
, isso simplifica para
Intuição rápida: o produto escalar com
pega a componente do vetor na direção
; dividir pelo comprimento dá o cosseno do ângulo com o eixo.
Passo 4
Aplique a fórmula ao nosso vetor
. O produto escalar de
com
é simplesmente a terceira componente de
, portanto
Passo 5
Calcule a norma de
:
Usando a identidade trigonométrica
, isso reduz a
Note que esse resultado é independente de
; a norma de
é constante.
Passo 6
Substituindo no fórmula do cosseno do Passo 3:
Como o lado direito não depende de
,
é constante e, portanto, o ângulo
também é constante (igual a
).