Seja \lambda(t)=(a \cos t, a \operatorname{sen} t, b t), t \in \mathbb{R}, a>0, b>0. Se \theta_{3}(t) é o ângulo entre \alpha^{\prime}(t) e o eixo- z, mostre que \cos \theta_{3}(t)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. Donde \theta_{3}(t) é constante;

Passo 1

O enunciado dá a curva \lambda(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;b t) com t\in\mathbb{R} e a>0,\;b>0. Pede-se mostrar que, se \theta_{3}(t) é o ângulo entre \lambda'(t) e o eixo z, então
\cos\theta_{3}(t)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
e, a partir disso, concluir que \theta_{3}(t) é constante.

Passo 2

Primeiro calculemos a derivada da curva componente a componente. Lembrando que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e \dfrac{d}{dt}(b t)=b, obtemos
\lambda'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t,\;b).

Passo 3

Agora vamos usar a definição do cosseno do ângulo entre dois vetores. Seja v um vetor qualquer e seja e_{3}=(0,0,1) o versor (vetor unitário) do eixo z. O cosseno do ângulo \theta entre v e e_{3} é dado por
\cos\theta=\frac{v\cdot e_{3}}{\|v\|\,\|e_{3}\|}.
Aqui v\cdot e_{3} é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor. Como \|e_{3}\|=1, isso simplifica para
\cos\theta=\frac{v\cdot e_{3}}{\|v\|}.
Intuição rápida: o produto escalar com e_{3} pega a componente do vetor na direção z; dividir pelo comprimento dá o cosseno do ângulo com o eixo.

Passo 4

Aplique a fórmula ao nosso vetor v=\lambda'(t). O produto escalar de \lambda'(t) com e_{3} é simplesmente a terceira componente de \lambda'(t), portanto
\lambda'(t)\cdot e_{3}=b.

Passo 5

Calcule a norma de \lambda'(t):
\|\lambda'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}} =\sqrt{a^{2}\sin^{2}t+a^{2}\cos^{2}t+b^{2}}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, isso reduz a
\|\lambda'(t)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Note que esse resultado é independente de t; a norma de \lambda'(t) é constante.

Passo 6

Substituindo no fórmula do cosseno do Passo 3:
\cos\theta_{3}(t)=\frac{\lambda'(t)\cdot e_{3}}{\|\lambda'(t)\|} =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Como o lado direito não depende de t, \cos\theta_{3}(t) é constante e, portanto, o ângulo \theta_{3}(t) também é constante (igual a \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr)).

Resposta

\displaystyle \cos\theta_{3}(t)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

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