Encontre a reta tangente de α em α\left(t_{0}\right). α(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), t_{0}=1;
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parâtrica \alpha(t)=\left(t,t^{2},t^{3}\right) e pede: encontrar a reta tangente a \alpha no ponto \alpha(t_{0}) com t_{0}=1.
Informações relevantes:
A curva é dada por \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) com x(t)=t, y(t)=t^{2}, z(t)=t^{3}.
O ponto onde queremos a tangente é \alpha(1).
A reta tangente a uma curva parâtrica em um ponto passa por esse ponto e tem direção dada pela derivada vetorial \alpha'(t) avaliada no ponto.
Passo 2
Conceito necessário (explicado passo a passo e sem pressa):
Para uma curva paramétrica \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr), a derivada \alpha'(t) é o vetor formado pelas derivadas das componentes:
\alpha'(t)=\left(x'(t),y'(t),z'(t)\right).
Esse vetor representa a velocidade da partícula que percorre a curva; geometricamente, a direção desse vetor em t=t_{0} é a direção da reta tangente à curva em \alpha(t_{0}).
Assim, a reta tangente em \alpha(t_{0}) pode ser escrita em forma vetorial paramétrica:
\ell(s)=\alpha(t_{0})+s\,\alpha'(t_{0}),
onde s é um parâmetro da reta (não confundir com o parâmetro original t). Em coordenadas, isso vira um sistema de equações paramétricas para x,y,z.
Passo 3
Calcular a derivada vetorial \alpha'(t) componente a componente.
Escrever a reta tangente na forma vetorial paramétrica. Usando o parâmetro da reta s\),
\[\ell(s)=\alpha(1)+s\,\alpha'(1)=\left(1,1,1\right)+s\left(1,2,3\right).