Encontre a reta tangente de α em α\left(t_{0}\right).
α(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), t_{0}=1;

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parâtrica \alpha(t)=\left(t,t^{2},t^{3}\right) e pede: encontrar a reta tangente a \alpha no ponto \alpha(t_{0}) com t_{0}=1.
Informações relevantes:
  • A curva é dada por \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) com x(t)=t, y(t)=t^{2}, z(t)=t^{3}.
  • O ponto onde queremos a tangente é \alpha(1).
  • A reta tangente a uma curva parâtrica em um ponto passa por esse ponto e tem direção dada pela derivada vetorial \alpha'(t) avaliada no ponto.

Passo 2

Conceito necessário (explicado passo a passo e sem pressa):
  • Para uma curva paramétrica \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr), a derivada \alpha'(t) é o vetor formado pelas derivadas das componentes:
\alpha'(t)=\left(x'(t),y'(t),z'(t)\right).
  • Esse vetor representa a velocidade da partícula que percorre a curva; geometricamente, a direção desse vetor em t=t_{0} é a direção da reta tangente à curva em \alpha(t_{0}).
  • Assim, a reta tangente em \alpha(t_{0}) pode ser escrita em forma vetorial paramétrica:
\ell(s)=\alpha(t_{0})+s\,\alpha'(t_{0}),
onde s é um parâmetro da reta (não confundir com o parâmetro original t). Em coordenadas, isso vira um sistema de equações paramétricas para x,y,z.

Passo 3

Calcular a derivada vetorial \alpha'(t) componente a componente.
  • Derivada de x(t)=t:
x'(t)=1.
  • Derivada de y(t)=t^{2}:
y'(t)=2t.
  • Derivada de z(t)=t^{3}:
z'(t)=3t^{2}.
Portanto,
\alpha'(t)=\left(1,\,2t,\,3t^{2}\right).

Passo 4

Avaliar \alpha'(t) em t_{0}=1.
\alpha'(1)=\left(1,\,2\cdot1,\,3\cdot1^{2}\right)=\left(1,2,3\right).

Passo 5

Calcular o ponto \alpha(1) (o ponto de tangência).
\alpha(1)=\left(1,\,1^{2},\,1^{3}\right)=\left(1,1,1\right).

Passo 6

Escrever a reta tangente na forma vetorial paramétrica. Usando o parâmetro da reta s\), \[\ell(s)=\alpha(1)+s\,\alpha'(1)=\left(1,1,1\right)+s\left(1,2,3\right).
Em coordenadas paramétricas isso corresponde a
\begin{cases} x(s)=1+s,\\[4pt] y(s)=1+2s,\\[4pt] z(s)=1+3s. \end{cases}
Aqui s\in\mathbb{R}\]; para \(s=0 obtemos o ponto de tangência (1,1,1).]

Passo 7

Opcional — forma simétrica da reta (válida pois as componentes da direção são não nulas):
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}.

Resposta

[\displaystyle \ell(s)=\left(1,1,1\right)+s\left(1,2,3\right))
(\displaystyleou\quad \begin{cases} x=1+s,\\[4pt] y=1+2s,\\[4pt] z=1+3s, \end{cases}\quad s\in\mathbb{R}]
\displaystyle\text{ou}\quad \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}]

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