Mostre que dada f contínua em [a, b] e derivável em (a, b),
se f^{\prime}(x)<0, para todo x \in(a, b), então f é estritamente decrescente em [a, b].

Passo 1

O enunciado dá uma função f com as seguintes propriedades:
  • f é contínua em [a,b].
  • f é derivável em (a,b).
  • f^{\prime}(x)<0 para todo x\in(a,b).
O que se pede: mostrar que f é estritamente decrescente em [a,b]; ou seja, mostrar que, para quaisquer x_1,x_2\in[a,b] tais que x_1<x_2, vale f(x_1)>f(x_2).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa f^{\prime}(x)<0. A derivada de f em um ponto x é, por definição,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe. Se f'(x)<0, isso significa que a razão de variação instantânea de f naquele ponto é negativa: localmente, ao aumentar x um pouco, f(x) tende a diminuir. Mas para concluir que f é decrescente em todo o intervalo precisamos de um argumento que transporte essa informação local (em cada ponto) para uma informação global (entre quaisquer dois pontos). Para isso usamos o Teorema do Valor Médio.

Passo 3

Enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM) — forma que vamos usar:
Se uma função g é contínua em [u,v] e derivável em (u,v), então existe algum c\in(u,v) tal que
g'\text{(c)}=\frac{g(v)-g(u)}{v-u}.
Explicando o que isso quer dizer: existe um ponto c onde a derivada (a inclinação instantânea) é igual à inclinação média do segmento que liga os pontos (u,g(u)) e (v,g(v)). O TVM é consequência do Teorema de Rolle; não precisamos prová-lo aqui, apenas usar o resultado e entender sua interpretação.

Passo 4

Aplicação do TVM ao nosso f. Tome quaisquer x_1,x_2\in[a,b] com x_1<x_2. Como f é contínua em [x_1,x_2] e derivável em (x_1,x_2) (essas propriedades são garantidas pelas hipóteses do enunciado, pois [x_1,x_2]\subset[a,b] e (x_1,x_2)\subset(a,b)), pelo Teorema do Valor Médio existe c\in(x_1,x_2) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Aqui, x_2-x_1>0 porque x_2>x_1.

Passo 5

Usando f'\text{(c)}<0 (hipótese válida para todo ponto interior, e c\in(a,b) é interior) e a igualdade do passo anterior, obtemos
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'\text{(c)}<0.
Multiplicando ambos os lados por x_2-x_1>0 não altera o sinal, portanto
f(x_2)-f(x_1)<0.
Isto é equivalente a
f(x_2)<f(x_1).
Como x_1 e x_2 foram quaisquer pontos com x_1<x_2, concluímos que sempre que x_1<x_2 tem-se f(x_1)>f(x_2). Essa é exatamente a definição de função estritamente decrescente em [a,b].

Passo 6

Observação didática e contraste: o ponto central da prova é que o TVM transforma informação local sobre a derivada em informação global sobre diferenças de valores de f. Note que é importante que f'(x)<0 estritamente (não apenas f'(x)\le 0). Se tivéssemos apenas f'(x)\le 0 poderia haver trechos onde f'(x)=0 em um intervalo, levando a trechos constantes; nesses casos f seria apenas não crescente (não estritamente decrescente). Exemplo rápido: f(x)= constante tem f'(x)=0 e não é estritamente decrescente.

Passo 7

Resumo final: para quaisquer x_1<x_2 escolhemos c\in(x_1,x_2) fornecido pelo TVM; como f'\text{(c)}<0 segue f(x_2)-f(x_1)<0 e, portanto, f(x_2)<f(x_1). Logo f é estritamente decrescente em [a,b]. Força: sempre que vir uma hipótese do tipo f'(x)<0 no interior de um intervalo e f tiver as hipóteses de regularidade (continuidade nas extremidades e derivabilidade no interior), a estratégia padrão é aplicar o Teorema do Valor Médio entre pontos arbitrários para obter a monotonicidade.

Resposta

f é estritamente decrescente em [a,b].

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