Mostre que dada
contínua em
e derivável em
,
se
, para todo
, então
é estritamente decrescente em
.
se
Passo 1
O enunciado dá uma função
com as seguintes propriedades:
-
é contínua em . -
é derivável em . -
para todo .
O que se pede: mostrar que
é estritamente decrescente em
; ou seja, mostrar que, para quaisquer
tais que
, vale
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. A derivada de
em um ponto
é, por definição,
quando esse limite existe. Se
, isso significa que a razão de variação instantânea de
naquele ponto é negativa: localmente, ao aumentar
um pouco,
tende a diminuir. Mas para concluir que
é decrescente em todo o intervalo precisamos de um argumento que transporte essa informação local (em cada ponto) para uma informação global (entre quaisquer dois pontos). Para isso usamos o Teorema do Valor Médio.
Passo 3
Enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM) — forma que vamos usar:
Se uma função é contínua em
e derivável em
, então existe algum
tal que
Se uma função
Explicando o que isso quer dizer: existe um ponto
onde a derivada (a inclinação instantânea) é igual à inclinação média do segmento que liga os pontos
e
. O TVM é consequência do Teorema de Rolle; não precisamos prová-lo aqui, apenas usar o resultado e entender sua interpretação.
Passo 4
Aplicação do TVM ao nosso
. Tome quaisquer
com
. Como
é contínua em
e derivável em
(essas propriedades são garantidas pelas hipóteses do enunciado, pois
e
), pelo Teorema do Valor Médio existe
tal que
Aqui,
porque
.
Passo 5
Usando
(hipótese válida para todo ponto interior, e
é interior) e a igualdade do passo anterior, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
não altera o sinal, portanto
Isto é equivalente a
Como
e
foram quaisquer pontos com
, concluímos que sempre que
tem-se
. Essa é exatamente a definição de função estritamente decrescente em
.
Passo 6
Observação didática e contraste: o ponto central da prova é que o TVM transforma informação local sobre a derivada em informação global sobre diferenças de valores de
. Note que é importante que
estritamente (não apenas
). Se tivéssemos apenas
poderia haver trechos onde
em um intervalo, levando a trechos constantes; nesses casos
seria apenas não crescente (não estritamente decrescente). Exemplo rápido:
constante tem
e não é estritamente decrescente.
Passo 7
Resumo final: para quaisquer
escolhemos
fornecido pelo TVM; como
segue
e, portanto,
. Logo
é estritamente decrescente em
. Força: sempre que vir uma hipótese do tipo
no interior de um intervalo e
tiver as hipóteses de regularidade (continuidade nas extremidades e derivabilidade no interior), a estratégia padrão é aplicar o Teorema do Valor Médio entre pontos arbitrários para obter a monotonicidade.