Prove que a função definida por f(x)=x^{2} \operatorname{sen}(1 / x), para x \neq 0, e f(0)=0, é derivável em x=0, mas não existe \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x).
O termo 2x\sin(1/x) tende a 0 quando x\to0 pelo mesmo argumento do passo 2: |2x\sin(1/x)|\le 2|x|\to0.
O termo -\cos(1/x) não tem limite quando x\to0, porque \cos(1/x) oscila entre -1 e 1 de maneira cada vez mais rápida quando x\to0. Para provar que o limite de f'(x) não existe, é suficiente encontrar duas sequências x_n\to0 e y_n\to0 tais que os limites de f'(x_n) e f'(y_n) sejam diferentes.
Passo 5
Construção de duas sequências que mostram oscilações distintas.
os limites são diferentes; isso implica que o limite \displaystyle\lim_{x\to0}f'(x) não existe.
Passo 6
Conclusão final (resumo didático e intuitivo).
Pelo cálculo do quociente diferencial em 0 e pelo teorema do confronto, mostrou-se que \displaystyle f'(0)=0. Intuitivamente: f(x) tende a 0 “bem rápido” (proporcional a x^{2}), então a inclinação média até 0 tende a 0.
Para x\neq0 obteve-se f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x). O primeiro termo vai para 0 quando x\to0, mas o segundo termo oscila entre -1 e 1 e não se estabiliza; as sequências construídas mostram concretamente que f'(x) toma valores próximos de -1 e de 1 arbitrariamente perto de 0. Logo o limite \lim_{x\to0}f'(x) não existe.
Resposta
f é derivável em 0 e f'(0)=0.\n\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x) não existe.