Prove que a função definida por f(x)=x^{2} \operatorname{sen}(1 / x), para x \neq 0, e f(0)=0, é derivável em x=0, mas não existe \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função definida por
f(x)=\begin{cases} x^{2}\sin\!\bigl(1/x\bigr), & x\neq0,\\[4pt] 0, & x=0. \end{cases}
O que é pedido:
  • Mostrar que f é derivável em x=0 e, portanto, encontrar f'(0).
  • Mostrar que o limite \displaystyle\lim_{x\to0} f'(x) não existe.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula de f(x) para x\neq0 (peguei do enunciado).
  • O valor f(0)=0 (peguei do enunciado).
  • Não há outras informações / figuras.]

Passo 2

Definição de derivada em 0 e aplicação direta.
Lembrete do conceito que vou usar: a derivada de f em 0 é o limite
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}.
Aqui f(0)=0, logo a diferença \dfrac{f(x)-f(0)}{x} fica simples. Substituindo a expressão de f(x) (para x\neq0) obtemos
\frac{f(x)}{x}=\frac{x^{2}\sin\!\bigl(1/x\bigr)}{x}=x\sin\!\bigl(1/x\bigr),\qquad x\neq0.
Agora uma ferramenta útil (teorema do confronto / squeeze): se uma função g(x) satisfaz -h(x)\le g(x)\le h(x) e h(x)\to0, então g(x)\to0.
Aplicação: para todo x\neq0 vale |\sin(1/x)|\le1. Assim
\bigl|x\sin\!\bigl(1/x\bigr)\bigr|\le|x|.
Como \lim_{x\to0}|x|=0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to0}x\sin\!\bigl(1/x\bigr)=0.
Portanto o limite do quociente existe e é 0, o que implica que f é derivável em 0 e
f'(0)=0.

Passo 3

Calcular f'(x) para x\neq0 (derivada pontual fora de 0).
Vou usar regras básicas de diferenciação:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\sin\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Escrevendo f(x)=x^{2}\cdot\sin\!\bigl(1/x\bigr) para x\neq0, temos u(x)=x^{2} e v(x)=\sin(1/x). Então
u'(x)=2x, \qquad v'(x)=\cos\!\bigl(1/x\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\!\bigl(1/x\bigr).
E \dfrac{d}{dx}(1/x)=-1/x^{2}. Logo
v'(x)=\cos\!\bigl(1/x\bigr)\cdot\bigl(-1/x^{2}\bigr)=-\frac{\cos\!\bigl(1/x\bigr)}{x^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=2x\sin\!\bigl(1/x\bigr)+x^{2}\cdot\Bigl(-\frac{\cos\!\bigl(1/x\bigr)}{x^{2}}\Bigr).
Simplificando a segunda parcela (o x^{2} cancela),
f'(x)=2x\sin\!\bigl(1/x\bigr)-\cos\!\bigl(1/x\bigr),\qquad x\neq0.

Passo 4

Análise do comportamento de f'(x) quando x\to0.
Observe a expressão obtida:
f'(x)=2x\sin\!\bigl(1/x\bigr)-\cos\!\bigl(1/x\bigr).
  • O termo 2x\sin(1/x) tende a 0 quando x\to0 pelo mesmo argumento do passo 2: |2x\sin(1/x)|\le 2|x|\to0.
  • O termo -\cos(1/x) não tem limite quando x\to0, porque \cos(1/x) oscila entre -1 e 1 de maneira cada vez mais rápida quando x\to0. Para provar que o limite de f'(x) não existe, é suficiente encontrar duas sequências x_n\to0 e y_n\to0 tais que os limites de f'(x_n) e f'(y_n) sejam diferentes.

Passo 5

Construção de duas sequências que mostram oscilações distintas.
Escolha a sequência
x_n=\frac{1}{2\pi n},\qquad n=1,2,3,\dots
Tem-se x_n\to0 quando n\to\infty e
\cos\!\bigl(1/x_n\bigr)=\cos\!\bigl(2\pi n\bigr)=1.
Assim, usando a fórmula de f'(x),
f'(x_n)=2x_n\sin\!\bigl(1/x_n\bigr)-\cos\!\bigl(1/x_n\bigr) =2x_n\sin\!\bigl(2\pi n\bigr)-1.
Mas \sin(2\pi n)=0, logo 2x_n\sin(1/x_n)=0, e portanto
f'(x_n)=-1\quad\text{para todo }n,
e em particular \lim_{n\to\infty}f'(x_n)=-1.
Agora escolha outra sequência
y_n=\frac{1}{(2n+1)\pi},\qquad n=1,2,3,\dots
Também y_n\to0, e
\cos\!\bigl(1/y_n\bigr)=\cos\!\bigl((2n+1)\pi\bigr)=-1.
Então
f'(y_n)=2y_n\sin\!\bigl(1/y_n\bigr)-\cos\!\bigl(1/y_n\bigr) =2y_n\sin\!\bigl((2n+1)\pi\bigr)-(-1).
Como \sin((2n+1)\pi)=0, o primeiro termo é 0 e
f'(y_n)=+1\quad\text{para todo }n,
portanto \lim_{n\to\infty}f'(y_n)=1.
Como existem duas sequências x_n\to0 e y_n\to0 tais que
\lim_{n\to\infty}f'(x_n)=-1\quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}f'(y_n)=1,
os limites são diferentes; isso implica que o limite \displaystyle\lim_{x\to0}f'(x) não existe.

Passo 6

Conclusão final (resumo didático e intuitivo).
  • Pelo cálculo do quociente diferencial em 0 e pelo teorema do confronto, mostrou-se que \displaystyle f'(0)=0. Intuitivamente: f(x) tende a 0 “bem rápido” (proporcional a x^{2}), então a inclinação média até 0 tende a 0.
  • Para x\neq0 obteve-se f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x). O primeiro termo vai para 0 quando x\to0, mas o segundo termo oscila entre -1 e 1 e não se estabiliza; as sequências construídas mostram concretamente que f'(x) toma valores próximos de -1 e de 1 arbitrariamente perto de 0. Logo o limite \lim_{x\to0}f'(x) não existe.

Resposta

f é derivável em 0 e f'(0)=0.\n \displaystyle \lim_{x\to0}f'(x) não existe.

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