Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que f(0)>0 e f(1)<1. Mostre que para todo n inteiro positivo, existe c \in(0,1) tal que f\text{(c)}=c^{n}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: f:[0,1]\to\mathbb{R} é contínua.
  • Dado: f(0)>0.
  • Dado: f(1)<1.
  • Pedido: mostrar que, para todo inteiro positivo n, existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=c^{n}.

Passo 2

Construir uma função que traduza a igualdade que queremos transformar em um problema de zeros. Defina, para um n fixo, a função
h_n(x)=f(x)-x^{n}.
Explicação didática: aqui a ideia é que encontrar c tal que f\text{(c)}=c^{n} é equivalente a encontrar um zero de h_n, isto é, um ponto c com h_n\text{(c)}=0. Então o problema passa a ser: provar que h_n tem pelo menos um zero em (0,1).

Passo 3

Mostrar que h_n é contínua em [0,1].
  • Justificativa: f é contínua por hipótese.
  • O polinômio x\mapsto x^{n} é contínuo (polinômios são contínuos).
  • A diferença de duas funções contínuas é contínua.
    Portanto, h_n é contínua em [0,1].
Comentário amigo: isso é confortável — não precisamos de regras difíceis: soma, produto e diferença preservam continuidade.

Passo 4

Avaliar h_n nas extremidades do intervalo e verificar sinais opostos.
  • Calcule h_n(0). Como 0^{n}=0, tem-se
h_n(0)=f(0)-0=f(0).
Pelo enunciado f(0)>0, logo h_n(0)>0.
  • Calcule h_n(1). Como 1^{n}=1, tem-se
h_n(1)=f(1)-1.
Pelo enunciado f(1)<1, logo h_n(1)<0.
Conclusão desta etapa: h_n(0)>0 e h_n(1)<0, isto é, h_n(0) e h_n(1) têm sinais opostos.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e concluir.
  • Enunciado do TVI (versão usada): se uma função é contínua em [a,b] e assume valores de sinais opostos em a e b, então existe c\in(a,b) tal que a função vale zero em c.
  • Aqui h_n é contínua em [0,1] e h_n(0)>0, h_n(1)<0. Então, pelo TVI, existe c\in(0,1) tal que
h_n\text{(c)}=0.
  • Mas h_n\text{(c)}=0 significa f\text{(c)}-c^{n}=0, isto é,
f\text{(c)}=c^{n}.
Comentário encorajador: essa é a parte central — avaliamos nas pontas, vimos sinais diferentes e o TVI garante o ponto onde elas se encontram. Simples e poderoso!

Passo 6

Observação final e exemplo para fixar a intuição.
  • A argumentação acima vale para qualquer inteiro positivo n, porque só usamos que 0^{n}=0 e 1^{n}=1, propriedades válidas para todo n\in\mathbb{N}.
  • Exemplo concreto para ver que faz sentido: se f for a função constante f(x)=\tfrac12, então f(0)=\tfrac12>0 e f(1)=\tfrac12<1; para cada n existe c=(\tfrac12)^{1/n}\in(0,1) com f\text{(c)}=c^{n}. Isso mostra que não é uma existência absurda — dá para visualizar.

Resposta

\forall n\in\mathbb{N},\\ \exists c\in(0,1)\\ \text{tal que}\\ f\text{(c)}=c^{n}.

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