Seja
uma função contínua tal que
e
. Mostre que para todo
inteiro positivo, existe
tal que
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dado:
é contínua. - Dado:
. - Dado:
. - Pedido: mostrar que, para todo inteiro positivo
, existe tal que .
Passo 2
Construir uma função que traduza a igualdade que queremos transformar em um problema de zeros. Defina, para um
fixo, a função
Explicação didática: aqui a ideia é que encontrar
tal que
é equivalente a encontrar um zero de
, isto é, um ponto
com
. Então o problema passa a ser: provar que
tem pelo menos um zero em
.
Passo 3
Mostrar que
é contínua em
.
- Justificativa:
é contínua por hipótese. - O polinômio
é contínuo (polinômios são contínuos). - A diferença de duas funções contínuas é contínua.
Portanto,é contínua em .
Comentário amigo: isso é confortável — não precisamos de regras difíceis: soma, produto e diferença preservam continuidade.
Passo 4
Avaliar
nas extremidades do intervalo e verificar sinais opostos.
- Calcule
. Como , tem-se
Pelo enunciado
, logo
.
- Calcule
. Como , tem-se
Pelo enunciado
, logo
.
Conclusão desta etapa:
e
, isto é,
e
têm sinais opostos.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e concluir.
- Enunciado do TVI (versão usada): se uma função é contínua em
e assume valores de sinais opostos em e , então existe tal que a função vale zero em . - Aqui
é contínua em e , . Então, pelo TVI, existe tal que
- Mas
significa , isto é,
Comentário encorajador: essa é a parte central — avaliamos nas pontas, vimos sinais diferentes e o TVI garante o ponto onde elas se encontram. Simples e poderoso!
Passo 6
Observação final e exemplo para fixar a intuição.
- A argumentação acima vale para qualquer inteiro positivo
, porque só usamos que e , propriedades válidas para todo . - Exemplo concreto para ver que faz sentido: se
for a função constante , então e ; para cada existe com . Isso mostra que não é uma existência absurda — dá para visualizar.