Mostre que, dados um inteiro
e um primo
pode ser escrito na forma
, em que
e
é um inteiro não divisível por
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, dados um inteiro
e um primo
, existe uma escrita
com
e
inteiro que não é divisível por
(ou seja,
).\n
Informações dadas: é um inteiro qualquer (pode ser positivo, negativo ou zero) e
é um número primo.\n
Observação importante (apenas listando casos que existem): há o caso especial que devemos tratar à parte, porque
é divisível por qualquer potência de
. A partir do passo seguinte vamos separar o tratamento de
do caso
.
Informações dadas:
Observação importante (apenas listando casos que existem): há o caso especial
Passo 2
Definições e linguagem que vou usar (explico como se fosse a primeira vez):\n
- Dizemos que um inteiro
divide um inteiro (escrevemos ) quando existe um inteiro tal que . Por exemplo, porque .\n - Um primo
é um inteiro maior que cujo únicos divisores positivos são e . Exemplos: .\n - A condição “
não é divisível por ” significa exatamente ; ou seja, não existe inteiro tal que .\n
Vou usar essas noções para construire .
Passo 3
Trato primeiro o caso especial
.\n
Se e quisermos escrever
com
não divisível por
, então necessariamente
(pois
implica
), mas
é divisível por
(qualquer número divide
). Logo NÃO existe uma escrita do tipo pedida com
não divisível por
quando
.\n
Portanto a afirmação do enunciado faz sentido e é verdadeira apenas para . A partir de agora assumo
.
Se
Portanto a afirmação do enunciado faz sentido e é verdadeira apenas para
Passo 4
Estratégia para
: vou definir o conjunto
Explico:
contém todos os expoentes
(inteiros não negativos) tais que
divide
. Note que
porque
e
para qualquer
. Portanto
não é vazio.\n
Agora argumento que é finito (ou pelo menos tem máximo): se
então
. Como
e
, isso força
, então
Agora argumento que
Logo
não pode crescer indefinidamente;
é um subconjunto finito de
. Consequência:
tem elemento máximo; chamo esse máximo de
.\n
Intuição leve: você vai dividindo por
enquanto for inteiro; não podes fazer isso para sempre sem ultrapassar o módulo
, então em algum ponto a divisão por
para de dar inteiro.
Intuição leve: você vai dividindo
Passo 5
Defino
Pela definição de
temos
, ou seja existe inteiro
tal que
Agora preciso mostrar que este
não é divisível por
(ou seja,
). Se fosse
, então existiria inteiro
com
, e assim
o que implicaria
; isto contradiz o fato de
ser máximo em
. Portanto não é possível
. Assim construí
e
com as propriedades desejadas.\n
Isso prova a existência da escrita com
e
, para todo
.
Isso prova a existência da escrita
Passo 6
(Comentário construtivo — como fazer na prova sem pensar em logaritmos) Outra forma, equivalente e mais algorítmica: comece com
. Se
pare e tome
e
. Se
escreva
e repita com
. Se
escreva
, etc. Este processo não pode continuar indefinidamente porque se ele continuasse para sempre isso significaria que
é divisível por
para todo
, o que só ocorre se
. Como assumimos
, o processo termina em algum passo
com
. Então
e
satisfaz
. Este é o procedimento que você aplicaria passo a passo numa prova ou num exemplo concreto.
Passo 7
Provo agora também a unicidade de
e
(isto é útil: a escrita é única).\n
Suponha que existam duas escritas
Suponha que existam duas escritas
com
e
,
. Sem perda de generalidade suponha
. Então
Se
então
(lado esquerdo), logo
, o que contradiz
. Portanto não pode ser
; tem de ser
, isto é
. Com isso obtemos
. Assim
e
são únicos.\n
Resumo: para existe exatamente um par
com
,
e
.
Resumo: para
Passo 8
Recapitulação final curta (estou torcendo por você: é um resultado bem usado em várias provas):\n
- Se
não existe representação com não divisível por .\n - Se
, existe e é única uma escrita com e . A existência vem de dividir por o máximo número de vezes possível; a unicidade vem do argumento que impede dividir mais vezes sem tornar divisível por .
Resposta
Para
: não existe representação com
não divisível por
.\n
Para : existe um único par
com
e
tal que
.
Para