Mostre que, dados um inteiro n e um primo p, n pode ser escrito na forma n=p^{k} m, em que k \geq 0 e m é um inteiro não divisível por p.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, dados um inteiro n e um primo p, existe uma escrita
n = p^{k}\,m
com k\ge 0 e m inteiro que não é divisível por p (ou seja, p\nmid m).\n
Informações dadas: n é um inteiro qualquer (pode ser positivo, negativo ou zero) e p é um número primo.\n
Observação importante (apenas listando casos que existem): há o caso especial n=0 que devemos tratar à parte, porque 0 é divisível por qualquer potência de p. A partir do passo seguinte vamos separar o tratamento de n=0 do caso n\neq 0.

Passo 2

Definições e linguagem que vou usar (explico como se fosse a primeira vez):\n
  • Dizemos que um inteiro a divide um inteiro b (escrevemos a\mid b) quando existe um inteiro q tal que b=aq. Por exemplo, 2\mid 6 porque 6=2\cdot3.\n
  • Um primo p é um inteiro maior que 1 cujo únicos divisores positivos são 1 e p. Exemplos: 2,3,5,7,\dots.\n
  • A condição “ m não é divisível por p” significa exatamente p\nmid m; ou seja, não existe inteiro t tal que m=p t.\n
    Vou usar essas noções para construir k e m.

Passo 3

Trato primeiro o caso especial n=0.\n
Se n=0 e quisermos escrever 0 = p^{k} m com m não divisível por p, então necessariamente m=0 (pois p^{k}m=0 implica m=0), mas m=0 é divisível por p (qualquer número divide 0). Logo NÃO existe uma escrita do tipo pedida com m não divisível por p quando n=0.\n
Portanto a afirmação do enunciado faz sentido e é verdadeira apenas para n\neq 0. A partir de agora assumo n\neq 0.

Passo 4

Estratégia para n\neq 0: vou definir o conjunto
S=\{t\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\mid p^{t}\mid n\}.
Explico: S contém todos os expoentes t (inteiros não negativos) tais que p^{t} divide n. Note que 0\in S porque p^{0}=1 e 1\mid n para qualquer n. Portanto S não é vazio.\n
Agora argumento que S é finito (ou pelo menos tem máximo): se p^{t}\mid n então |p^{t}|\le |n|. Como |p^{t}|=p^{t} e p\ge2, isso força p^{t}\le|n|, então
t \le \log_{p}(|n|).
Logo t não pode crescer indefinidamente; S é um subconjunto finito de \mathbb{Z}_{\ge 0}. Consequência: S tem elemento máximo; chamo esse máximo de k.\n
Intuição leve: você vai dividindo n por p enquanto for inteiro; não podes fazer isso para sempre sem ultrapassar o módulo |n|, então em algum ponto a divisão por p para de dar inteiro.

Passo 5

Defino
k=\max S.
Pela definição de S temos p^{k}\mid n, ou seja existe inteiro m tal que
n = p^{k} m.
Agora preciso mostrar que este m não é divisível por p (ou seja, p\nmid m). Se fosse p\mid m, então existiria inteiro u com m=p u, e assim
n = p^{k}m = p^{k}(p u)=p^{k+1} u,
o que implicaria p^{k+1}\mid n; isto contradiz o fato de k ser máximo em S. Portanto não é possível p\mid m. Assim construí k e m com as propriedades desejadas.\n
Isso prova a existência da escrita n=p^{k}m com k\ge0 e p\nmid m, para todo n\neq0.

Passo 6

(Comentário construtivo — como fazer na prova sem pensar em logaritmos) Outra forma, equivalente e mais algorítmica: comece com n_0=n. Se p\nmid n_0 pare e tome k=0 e m=n_0. Se p\mid n_0 escreva n_0=p n_1 e repita com n_1. Se p\mid n_1 escreva n_1=p n_2, etc. Este processo não pode continuar indefinidamente porque se ele continuasse para sempre isso significaria que n é divisível por p^{t} para todo t, o que só ocorre se n=0. Como assumimos n\neq0, o processo termina em algum passo k com p\nmid n_k. Então n=p^{k} n_k e m:=n_k satisfaz p\nmid m. Este é o procedimento que você aplicaria passo a passo numa prova ou num exemplo concreto.

Passo 7

Provo agora também a unicidade de k e m (isto é útil: a escrita é única).\n
Suponha que existam duas escritas
n = p^{k} m = p^{\ell} m',
com k,\ell\ge0 e p\nmid m, p\nmid m'. Sem perda de generalidade suponha k\le \ell. Então
p^{\ell-k} m' = m.
Se \ell-k\ge1 então p\mid (lado esquerdo), logo p\mid m, o que contradiz p\nmid m. Portanto não pode ser \ell-k\ge1; tem de ser \ell-k=0, isto é \ell=k. Com isso obtemos m=m'. Assim k e m são únicos.\n
Resumo: para n\neq0 existe exatamente um par (k,m) com k\ge0, p\nmid m e n=p^{k}m.

Passo 8

Recapitulação final curta (estou torcendo por você: é um resultado bem usado em várias provas):\n
  • Se n=0 não existe representação com m não divisível por p.\n
  • Se n\neq0, existe e é única uma escrita n=p^{k}m com k\ge0 e p\nmid m. A existência vem de dividir n por p o máximo número de vezes possível; a unicidade vem do argumento que impede dividir mais vezes sem tornar m divisível por p.

Resposta

Para n=0: não existe representação com m não divisível por p.\n
Para n\neq0: existe um único par (k,m) com k\ge0 e p\nmid m tal que n = p^{k} m.

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