Sejam
inteiros positivos distintos de 1 , com decomposição em produto de potências de primos
em que
para cada
. Prove que
para cada
.
(use o item anterior e a fórmula
.))
para cada
(use o item anterior e a fórmula
Passo 1
O enunciado dá dois inteiros positivos
e
(distintos de
) com as decomposições em potências de primos
onde, para cada
, temos
e
. O objetivo é provar que
onde, para cada
,
. O enunciado diz para usar o item anterior (que podemos tomar como a fórmula do máximo divisor comum) e a identidade
Listei as informações dadas e a pergunta pedida; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Recordando (item anterior): a fórmula para o máximo divisor comum é, componente a componente,
onde, para cada
,
. Explicação didática rápida: um número que divide tanto
quanto
só pode ter nas potências de
um expoente no máximo igual ao menor dos expoentes em
e em
; portanto o maior expoente possível num divisor comum é o mínimo dos expoentes. Assim a
tem expoente
para
.
Passo 3
Use a identidade dada multiplicando as formas fatoradas. Escrevemos
e
como produtos de primos (a
ainda com expoentes desconhecidos
):
Multiplicando termo a termo (propriedade: ao multiplicar potências de uma mesma base somam-se os expoentes),
Passo 4
Escrevemos também
em termos dos expoentes:
Pela identidade dada temos
Pela unicidade da fatoração em primos (se dois inteiros têm a mesma fatoração em primos, os expoentes correspondentes são iguais), concluímos que, para cada
,
Passo 5
Isolando
na igualdade anterior obtemos
para cada
. Agora usamos que
e mostramos que isso força
. Decomposição do raciocínio:
- Se
, então . Substituindo,
- Se
, então . Substituindo,
Portanto, em ambos os casos
.
Passo 6
Concluímos que os expoentes da
são exatamente os máximos dos expoentes de
e
. Assim
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se
e
, então
(mínimos) e
(máximos), e de fato
.