Sejam a, b inteiros positivos distintos de 1 , com decomposição em produto de potências de primos
\begin{aligned} a & =p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}} \\ b & =p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \cdots p_{k}^{b_{k}} \end{aligned}
em que a_{i} \geq 0, b_{i} \geq 0 para cada i=1,2, \ldots, k. Prove que
\operatorname{mmc}(a, b)=p_{1}^{M_{1}} p_{2}^{M_{2}} \cdots p_{k}^{M_{k}}\\, onde \(M_{j}=\max \left\{a_{j}, b_{j}\right\} para cada j=1,2, \ldots, k.
(use o item anterior e a fórmula \operatorname{mdc}(a, b) \operatorname{mmc}(a, b)=|a b|.))

Passo 1

O enunciado dá dois inteiros positivos a e b (distintos de 1) com as decomposições em potências de primos
a = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}},
b = p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \cdots p_{k}^{b_{k}},
onde, para cada i=1,2,\ldots,k, temos a_{i}\ge 0 e b_{i}\ge 0. O objetivo é provar que
\operatorname{mmc}(a,b)=p_{1}^{M_{1}} p_{2}^{M_{2}} \cdots p_{k}^{M_{k}},
onde, para cada j, M_{j}=\max\{a_{j},b_{j}\}. O enunciado diz para usar o item anterior (que podemos tomar como a fórmula do máximo divisor comum) e a identidade
\operatorname{mdc}(a,b)\,\operatorname{mmc}(a,b)=|ab|.
Listei as informações dadas e a pergunta pedida; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Recordando (item anterior): a fórmula para o máximo divisor comum é, componente a componente,
\operatorname{mdc}(a,b)=\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{m_{j}},
onde, para cada j, m_{j}=\min\{a_{j},b_{j}\}. Explicação didática rápida: um número que divide tanto a quanto b só pode ter nas potências de p_{j} um expoente no máximo igual ao menor dos expoentes em a e em b; portanto o maior expoente possível num divisor comum é o mínimo dos expoentes. Assim a \operatorname{mdc} tem expoente m_j para p_j.

Passo 3

Use a identidade dada multiplicando as formas fatoradas. Escrevemos \operatorname{mdc}(a,b) e \operatorname{mmc}(a,b) como produtos de primos (a \operatorname{mmc} ainda com expoentes desconhecidos M_j):
\operatorname{mdc}(a,b)=\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{m_{j}}, \qquad \operatorname{mmc}(a,b)=\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{M_{j}}.
Multiplicando termo a termo (propriedade: ao multiplicar potências de uma mesma base somam-se os expoentes),
\operatorname{mdc}(a,b)\,\operatorname{mmc}(a,b) = \prod_{j=1}^{k} p_{j}^{m_{j}} \cdot \prod_{j=1}^{k} p_{j}^{M_{j}} = \prod_{j=1}^{k} p_{j}^{m_{j}+M_{j}}.

Passo 4

Escrevemos também ab em termos dos expoentes:
ab = \left(\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{a_{j}}\right)\left(\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{b_{j}}\right) = \prod_{j=1}^{k} p_{j}^{a_{j}+b_{j}}.
Pela identidade dada temos
\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{m_{j}+M_{j}} = |ab| = \prod_{j=1}^{k} p_{j}^{a_{j}+b_{j}}.
Pela unicidade da fatoração em primos (se dois inteiros têm a mesma fatoração em primos, os expoentes correspondentes são iguais), concluímos que, para cada j,
m_{j}+M_{j}=a_{j}+b_{j}.

Passo 5

Isolando M_{j} na igualdade anterior obtemos
M_{j}=a_{j}+b_{j}-m_{j},
para cada j. Agora usamos que m_{j}=\min\{a_{j},b_{j}\} e mostramos que isso força M_{j}=\max\{a_{j},b_{j}\}. Decomposição do raciocínio:
  • Se a_{j}\le b_{j}, então m_{j}=a_{j}. Substituindo,
M_{j}=a_{j}+b_{j}-a_{j}=b_{j}=\max\{a_{j},b_{j}\}.
  • Se b_{j}\le a_{j}, então m_{j}=b_{j}. Substituindo,
M_{j}=a_{j}+b_{j}-b_{j}=a_{j}=\max\{a_{j},b_{j}\}.
Portanto, em ambos os casos M_{j}=\max\{a_{j},b_{j}\}.

Passo 6

Concluímos que os expoentes da \operatorname{mmc} são exatamente os máximos dos expoentes de a e b. Assim
\operatorname{mmc}(a,b)=\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{M_{j}} \quad\text{com}\quad M_{j}=\max\{a_{j},b_{j}\}\\ \text{para cada }j.
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se a=2^{3}3^{1} e b=2^{1}3^{4}, então \operatorname{mdc}=2^{1}3^{1} (mínimos) e \operatorname{mmc}=2^{3}3^{4} (máximos), e de fato \operatorname{mdc}\cdot\operatorname{mmc}=2^{4}3^{5}=ab.

Resposta

\displaystyle \operatorname{mmc}(a,b)=\prod_{j=1}^{k} p_{j}^{\max\{a_{j},b_{j}\}}

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