Mostre que se
é primo então o coeficiente binomial
é múltiplo de
para cada
tal que
. (sugestão: apesar de serem escritos como frações de fatoriais, os coeficientes binomiais são sempre inteiros; logo,
. Agora a ideia é concluir que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é primo e que
é um inteiro tal que
. O que precisamos provar é que o coeficiente binomial
é múltiplo de
; em símbolos, provar que
Informações relevantes que já temos no enunciado e que vamos usar: o coeficiente binomial pode ser escrito por fatoriais (isto é,
), e
é primo (o que dá propriedades fortes sobre divisibilidade).
Passo 2
Lembrete útil (aula rápida sobre fatoriais e coeficiente binomial). Para um inteiro
definimos
O coeficiente binomial é definido por
Isso é sempre um inteiro (intuitivamente conta o número de maneiras de escolher
elementos dentre
). Aqui usamos a escrita por fatoriais para manipular a divisibilidade.
Passo 3
Usamos que
. Substituindo na fórmula do coeficiente binomial obtemos
Se conseguirmos mostrar que
é inteiro, então
será um múltiplo de
(produto de
por um inteiro).
Passo 4
Observação crucial sobre primos e divisibilidade (aula sobre por que
não aparece nos fatoriais menores). Como
, todos os fatores que aparecem em
e em
são inteiros estritamente menores que
. Como
é primo, nenhum desses fatores é múltiplo de
. Portanto o produto
não é múltiplo de
. Em termos formais,
Passo 5
Usamos uma propriedade básica de divisibilidade (pequena lição): se
e
, então necessariamente
. Explico por que isso é verdade de forma simples: como
, existem inteiros
tais que
(identidade de Bézout). Multiplicando por
obtemos
. Como
e, por hipótese
(e então
), segue que
divide a soma
. Assim
.
Passo 6
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Sabemos que
divide
porque
divide
(o coeficiente binomial é inteiro, ou simplesmente porque
contém todos os fatores de
). Ou seja,
Além disso, do Passo 4 temos
. Pelo lema do Passo 5, disso segue que
Passo 7
Como
divide
, a fração
é um inteiro. Voltando à expressão do Passo 3, temos
Isto mostra que
é múltiplo de
: o coeficiente binomial tem
como fator.
Passo 8
Exemplo rápido para sentir a ideia: tome
e
. Então
, e de fato
é múltiplo de
. A prova anterior generaliza esse raciocínio para qualquer primo
.