Mostre que se p é primo então o coeficiente binomial \binom{p}{k} é múltiplo de p para cada k tal que 1 \leq k \leq p-1. (sugestão: apesar de serem escritos como frações de fatoriais, os coeficientes binomiais são sempre inteiros; logo, k!(p-k)!\mid p!. Agora a ideia é concluir que k!(p-k)!\mid(p-1)!.

Passo 1

O enunciado dá que p é primo e que k é um inteiro tal que 1 \leq k \leq p-1. O que precisamos provar é que o coeficiente binomial \binom{p}{k} é múltiplo de p; em símbolos, provar que
p \mid \binom{p}{k}.
Informações relevantes que já temos no enunciado e que vamos usar: o coeficiente binomial pode ser escrito por fatoriais (isto é, \binom{p}{k}=\dfrac{p!}{k!(p-k)!}), e p é primo (o que dá propriedades fortes sobre divisibilidade).

Passo 2

Lembrete útil (aula rápida sobre fatoriais e coeficiente binomial). Para um inteiro n\ge 1 definimos
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
O coeficiente binomial é definido por
\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}.
Isso é sempre um inteiro (intuitivamente conta o número de maneiras de escolher k elementos dentre p). Aqui usamos a escrita por fatoriais para manipular a divisibilidade.

Passo 3

Usamos que p! = p\cdot (p-1)!. Substituindo na fórmula do coeficiente binomial obtemos
\binom{p}{k} = \frac{p\cdot (p-1)!}{k!(p-k)!} = p \cdot \frac{(p-1)!}{k!(p-k)!}.
Se conseguirmos mostrar que \dfrac{(p-1)!}{k!(p-k)!} é inteiro, então \binom{p}{k} será um múltiplo de p (produto de p por um inteiro).

Passo 4

Observação crucial sobre primos e divisibilidade (aula sobre por que p não aparece nos fatoriais menores). Como 1 \le k \le p-1, todos os fatores que aparecem em k! e em (p-k)! são inteiros estritamente menores que p. Como p é primo, nenhum desses fatores é múltiplo de p. Portanto o produto
a := k!(p-k)!
não é múltiplo de p. Em termos formais,
\gcd\big(k!(p-k)!,\,p\big)=1.

Passo 5

Usamos uma propriedade básica de divisibilidade (pequena lição): se a\mid bc e \gcd(a,b)=1, então necessariamente a\mid c. Explico por que isso é verdade de forma simples: como \gcd(a,b)=1, existem inteiros x,y tais que ax+by=1 (identidade de Bézout). Multiplicando por c obtemos axc+byc=c. Como a\mid axc e, por hipótese a\mid bc (e então a\mid byc), segue que a divide a soma axc+byc=c. Assim a\mid c.

Passo 6

Agora aplicamos isso ao nosso caso. Sabemos que a=k!(p-k)! divide p\cdot (p-1)! porque a divide p! (o coeficiente binomial é inteiro, ou simplesmente porque p! = p\cdot (p-1)! contém todos os fatores de a). Ou seja,
a \mid p\cdot (p-1)!.
Além disso, do Passo 4 temos \gcd(a,p)=1. Pelo lema do Passo 5, disso segue que
a \mid (p-1)!.

Passo 7

Como a = k!(p-k)! divide (p-1)!, a fração
m := \frac{(p-1)!}{k!(p-k)!}
é um inteiro. Voltando à expressão do Passo 3, temos
\binom{p}{k} = p\cdot m.
Isto mostra que \binom{p}{k} é múltiplo de p: o coeficiente binomial tem p como fator.

Passo 8

Exemplo rápido para sentir a ideia: tome p=5 e k=2. Então \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{120}{2\cdot 6}=10, e de fato 10=5\cdot 2 é múltiplo de 5. A prova anterior generaliza esse raciocínio para qualquer primo p.

Resposta

\;p \mid \binom{p}{k} para todo inteiro \;k com \;1 \leq k \leq p-1.

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