Mostre que dados seis inteiros entre 1 e 10 (incluindo 1 e 10 possivelmente) há dois deles que são consecutivos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se escolhemos seis inteiros (podendo repetir ou não?) distintos entre 1 e 10, necessariamente haverá dois deles que são consecutivos. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Casa dos Pombos (Princípio de Dirichlet) aplicado à combinatória de inteiros.

Passo 2

Note que os inteiros de 1 a 10 podem ser agrupados em cinco pares disjuntos de números consecutivos:
\{1,2\},\quad \{3,4\},\quad \{5,6\},\quad \{7,8\},\quad \{9,10\}.
Cada um desses cinco conjuntos contém dois inteiros que, por construção, são consecutivos.

Passo 3

Ao escolher seis inteiros dentre os dez disponíveis, estamos “colocando” seis “pombos” (os inteiros escolhidos) em cinco “casas” (os cinco pares acima). Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se o número de pombos (6) é maior que o número de casas (5), então alguma casa deve conter pelo menos dois pombos.

Passo 4

Isso significa que algum dos cinco pares acima terá sido “escolhido” em pelo menos dois de seus elementos. Mas cada um desses pares é formado por dois inteiros consecutivos. Logo, entre os seis inteiros escolhidos há obrigatoriamente dois que são consecutivos.

Resposta

Entre seis inteiros escolhidos no conjunto \{1,2,\dots,10\} sempre há dois inteiros consecutivos.

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