a)
Mostre que a derivada implícita de
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa encontrar a derivada implícita
. Isso significa que vamos usar a derivação implícita, uma técnica que serve quando y está misturado com x na equação. Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos
, a gente precisa usar a regra da cadeia.
A equação original é:
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
-
é 0, porque a derivada de uma constante é zero. -
é 1. - Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Então:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação:
Nosso objetivo é isolar
. Primeiro, dividimos os dois lados por
:
Passo 5
Agora, vamos isolar
. Subtraia
de ambos os lados:
Em seguida, divida ambos os lados por
: