a) (0,8) Mostre que a derivada implícita de 4-x=sen(x^3+y^2) é d yd x=-1-3 x^2 cdot cos (x^3+y^2)2 y cdot cos (x^3+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação 4 - x = sin(x^3 + y^2) e precisa encontrar a derivada implícita dydx. Isso significa que vamos usar a derivação implícita, uma técnica que serve quando y está misturado com x na equação. Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos y, a gente precisa usar a regra da cadeia.
A equação original é:
4 - x = sin(x^3 + y^2)
Derivando ambos os lados:
ddx(4) - ddx(x) = ddx(sin(x^3 + y^2))

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  • ddx(4) é 0, porque a derivada de uma constante é zero.
  • ddx(x) é 1.
  • Para ddx(sin(x^3 + y^2)), usamos a regra da cadeia. A derivada de sin(u) é cos(u) cdot dudx, onde u = x^3 + y^2.
Então:
0 - 1 = cos(x^3 + y^2) cdot (3x^2 + 2y cdot dydx)

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
-1 = cos(x^3 + y^2) cdot (3x^2 + 2y cdot dydx)
Nosso objetivo é isolar dydx. Primeiro, dividimos os dois lados por cos(x^3 + y^2):
-1cos(x^3 + y^2) = 3x^2 + 2y cdot dydx

Passo 5

Agora, vamos isolar dydx. Subtraia 3x^2 de ambos os lados:
-1cos(x^3 + y^2) - 3x^2 = 2y cdot dydx
Em seguida, divida ambos os lados por 2y:
-1 - 3x^2 cos(x^3 + y^2)2y cos(x^3 + y^2) = dydx

Resposta

dydx = -1 - 3x^2 cdot cos(x^3 + y^2)2y cdot cos(x^3 + y^2)

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