Mostre que o determinante de uma matriz quadrada escalonada de ordem
é o produto dos elementos de sua diagonal principal.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: mostrar que o determinante de uma matriz quadrada escalonada de ordem
é o produto dos elementos de sua diagonal principal. - Informação dada (definição usada aqui): uma matriz quadrada
de ordem é “escalonada” no sentido usual de matriz triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é,
- Objetivo explícito: provar que
Passo 2
Relembrando um conceito que vamos usar: expansão de Laplace (cofatores) ao longo de uma coluna.
- Para qualquer matriz quadrada
de ordem , o determinante pode ser calculado expandindo ao longo da coluna pela fórmula
onde
é a matriz
obtida de
removendo a linha
e a coluna
. O número
é o sinal do cofator.
- Vamos aplicar essa fórmula escolhendo uma coluna que contenha muitos zeros (isso simplifica muito a soma). Para uma matriz triangular superior, a primeira coluna tem entradas nulas em todas as posições abaixo da primeira, ou seja,
para todo . Isso faz com que a expansão ao longo da primeira coluna tenha apenas um termo possivelmente não nulo.
Passo 3
Caso base da indução:
.
- Se
então e, por definição, . A fórmula a demonstrar dá
logo vale para
.
Passo 4
Plano de prova por indução em
.
- Vamos provar a afirmação por indução em
. Já mostramos o caso . - Indução: suponha que a propriedade seja verdadeira para toda matriz triangular superior de ordem
. Mostraremos que vale para ordem .
Passo 5
Aplicando expansão de Laplace à primeira coluna da matriz triangular superior de ordem
.
- Seja
triangular superior de ordem , então para todo . Expandindo ao longo da coluna obtemos
- Como
para , todos os termos da soma com desaparecem. Resta apenas o termo :
Passo 6
Verificar que o menor
é novamente uma matriz triangular superior de ordem
.
-
é a matriz que se obtém de removendo a primeira linha e a primeira coluna. Como tem zeros em todas as posições abaixo da diagonal, ao remover a primeira linha e coluna a propriedade de “ser triangular superior” se preserva: para vale que seus elementos abaixo da diagonal são nulos. Portanto é uma matriz triangular superior de ordem .
Passo 7
Aplicar a hipótese de indução ao menor
.
- Pela hipótese de indução, o determinante de
é o produto de seus elementos na diagonal principal. Esses elementos são exatamente . Assim
- Substituindo na expressão obtida no Passo 5:
Passo 8
Observações sobre diagonal com zeros (caso especial) e conclusão.
- Se algum
então o produto é zero. No caso triangular superior isso corresponde a ter a coluna com todos os elementos abaixo da diagonal nulos e o elemento diagonal nulo; a expansão de Laplace mostra diretamente que o determinante será zero também. Portanto não há contradição. - Assim fechamos a indução: a propriedade vale para
e, se vale para , vale para . Logo vale para todo .