Mostre que o determinante de uma matriz quadrada escalonada de ordem n é o produto dos elementos de sua diagonal principal.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: mostrar que o determinante de uma matriz quadrada escalonada de ordem n é o produto dos elementos de sua diagonal principal.
  • Informação dada (definição usada aqui): uma matriz quadrada A=(a_{ij}) de ordem n é “escalonada” no sentido usual de matriz triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é,
a_{ij}=0\quad\text{sempre que } i>j.
  • Objetivo explícito: provar que
\det(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}.

Passo 2

Relembrando um conceito que vamos usar: expansão de Laplace (cofatores) ao longo de uma coluna.
  • Para qualquer matriz quadrada A de ordem n, o determinante pode ser calculado expandindo ao longo da coluna j pela fórmula
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz (n-1)\times(n-1) obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O número (-1)^{i+j} é o sinal do cofator.
  • Vamos aplicar essa fórmula escolhendo uma coluna que contenha muitos zeros (isso simplifica muito a soma). Para uma matriz triangular superior, a primeira coluna tem entradas nulas em todas as posições abaixo da primeira, ou seja, a_{i1}=0 para todo i\ge 2. Isso faz com que a expansão ao longo da primeira coluna tenha apenas um termo possivelmente não nulo.

Passo 3

Caso base da indução: n=1.
  • Se n=1 então A=(a_{11}) e, por definição, \det(A)=a_{11}. A fórmula a demonstrar dá
\prod_{i=1}^{1} a_{ii}=a_{11},
logo vale para n=1.

Passo 4

Plano de prova por indução em n.
  • Vamos provar a afirmação por indução em n. Já mostramos o caso n=1.
  • Indução: suponha que a propriedade seja verdadeira para toda matriz triangular superior de ordem n-1. Mostraremos que vale para ordem n.

Passo 5

Aplicando expansão de Laplace à primeira coluna da matriz triangular superior de ordem n.
  • Seja A=(a_{ij}) triangular superior de ordem n, então a_{i1}=0 para todo i\ge 2. Expandindo \det(A) ao longo da coluna 1 obtemos
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\,a_{i1}\,\det(M_{i1}).
  • Como a_{i1}=0 para i\ge 2, todos os termos da soma com i\ge 2 desaparecem. Resta apenas o termo i=1:
\det(A)=(-1)^{1+1}\,a_{11}\,\det(M_{11})=a_{11}\,\det(M_{11}).

Passo 6

Verificar que o menor M_{11} é novamente uma matriz triangular superior de ordem n-1.
  • M_{11} é a matriz que se obtém de A removendo a primeira linha e a primeira coluna. Como A tem zeros em todas as posições abaixo da diagonal, ao remover a primeira linha e coluna a propriedade de “ser triangular superior” se preserva: para M_{11} vale que seus elementos abaixo da diagonal são nulos. Portanto M_{11} é uma matriz triangular superior de ordem n-1.

Passo 7

Aplicar a hipótese de indução ao menor M_{11}.
  • Pela hipótese de indução, o determinante de M_{11} é o produto de seus elementos na diagonal principal. Esses elementos são exatamente a_{22},a_{33},\dots,a_{nn}. Assim
\det(M_{11})=\prod_{i=2}^{n} a_{ii}.
  • Substituindo na expressão obtida no Passo 5:
\det(A)=a_{11}\,\det(M_{11})=a_{11}\,\prod_{i=2}^{n} a_{ii}=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}.

Passo 8

Observações sobre diagonal com zeros (caso especial) e conclusão.
  • Se algum a_{kk}=0 então o produto \prod_{i=1}^{n} a_{ii} é zero. No caso triangular superior isso corresponde a ter a coluna k com todos os elementos abaixo da diagonal nulos e o elemento diagonal nulo; a expansão de Laplace mostra diretamente que o determinante será zero também. Portanto não há contradição.
  • Assim fechamos a indução: a propriedade vale para n=1 e, se vale para n-1, vale para n. Logo vale para todo n\ge 1.

Resposta

\det(A)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n} a_{ii}

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