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  1. Mostre que as diagonais de um paralelogramo têm mesma medida se e somente se o paralelogramo é um retângulo.
    Sugestão: Traduza para \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\| \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}.
  2. Mostre que as diagonais de um losango:
    (a) são perpendiculares e reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares, ele é um losango;

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que se pede):
  • (21) Mostrar que as diagonais de um paralelogramo têm a mesma medida se, e somente se, o paralelogramo é um retângulo.
  • Sugestão já dada: traduzir o problema para a igualdade de vetores \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\| e relacioná-la com \vec{u}\perp\vec{v}.
  • (22) Mostrar que as diagonais de um losango são perpendiculares e, reciprocamente, que se um paralelogramo tem diagonais perpendiculares então ele é um losango.
  • Informação que vamos usar (implícita no enunciado): num paralelogramo, podemos escolher um vértice como origem e representar os dois lados adjacentes por vetores \vec{u} e \vec{v}. As diagonais são então representadas pelos vetores \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.
  • Não há outras hipóteses escondidas: assumimos o modelo vetorial padrão para paralelogramos.

Passo 2

Ferramentas vetoriais básicas que vamos precisar (aula rápida e necessária):
  • Definição de norma e produto escalar: para um vetor \vec{w}, a norma é \|\vec{w}\|. O quadrado da norma pode ser escrito com produto escalar como \|\vec{w}\|^{2} = \vec{w}\cdot\vec{w}.
  • Produto escalar e perpendicularidade: dois vetores \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares exatamente quando \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Vou usar essa equivalência várias vezes.
  • Identidade de expansão: para quaisquer vetores \vec{x} e \vec{y},
\|\vec{x}\pm\vec{y}\|^{2}=(\vec{x}\pm\vec{y})\cdot(\vec{x}\pm\vec{y})=\|\vec{x}\|^{2}\pm 2\,\vec{x}\cdot\vec{y}+\|\vec{y}\|^{2}.
Essa fórmula é só a expansão do produto escalar, igualzinho ao que fazemos com quadrados escalares.
  • No nosso contexto: os vetores das diagonais são \vec{d}_1=\vec{u}+\vec{v} e \vec{d}_2=\vec{u}-\vec{v}. Se \vec{d}_1\perp\vec{d}_2 então (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0.

Passo 3

Resolução de (21) — parte "se \Rightarrow": suponha que as diagonais têm mesma medida.
  • Hipótese: \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|.
  • Elevo ao quadrado (não muda nada pois norma é não negativa):
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}.
  • Expando ambos os lados usando a identidade do passo anterior:
\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}.
  • Cancelo os termos iguais \|\vec{u}\|^{2} e \|\vec{v}\|^{2} em ambos os lados, fica:
2\,\vec{u}\cdot\vec{v}=-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
  • Somando 2\vec{u}\cdot\vec{v} em ambos os lados obtemos
4\,\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \quad\Rightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
  • Conclusão: \vec{u} é perpendicular a \vec{v}. No paralelogramo isso significa que os lados adjacentes são perpendiculares, ou seja, o paralelogramo é um retângulo. (Definição usada: retângulo = paralelogramo com ângulos retos.)

Passo 4

Resolução de (21) — parte "somente se \Leftarrow": suponha que o paralelogramo é um retângulo.
  • Hipótese: \vec{u}\perp\vec{v}, logo \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
  • Calculo as normas ao quadrado das diagonais:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2},
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}.
  • Como os quadrados das normas coincidem, as normas coincidem:
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|.
  • Conclusão: Se o paralelogramo é retângulo então as diagonais têm a mesma medida.
  • Assim fechamos a equivalência pedida em (21): \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\| se e somente se \vec{u}\perp\vec{v}, que é exatamente o enunciado sobre diagonais e retângulo.

Passo 5

Resolução de (22) — direcção: “se é losango então as diagonais são perpendiculares”.
  • Definição prática: um losango é um paralelogramo cujos lados têm a mesma medida; em vetores isso é \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|.
  • Calculo o produto escalar das diagonais:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2},
pois \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.
  • Se \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\| então \|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=0.
  • Logo (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0, isto é, as diagonais são perpendiculares.
  • Exemplo concretinho (para fixar): escolha \vec{u}=(1,1) e \vec{v}=(1,-1). Temos \|\vec{u}\|=\sqrt{2}=\|\vec{v}\|, então é um losango; as diagonais são \vec{u}+\vec{v}=(2,0) e \vec{u}-\vec{v}=(0,2), claramente perpendiculares.

Passo 6

Resolução de (22) — recíproca: “se um paralelogramo tem diagonais perpendiculares então é losango”.
  • Hipótese: as diagonais são perpendiculares, isto é,
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0.
  • Como no passo anterior, esse produto escalar é \|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}. Portanto
\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \|\vec{u}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}.
  • Tirando raiz (normas são não negativas) obtemos \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|, logo os lados adjacentes têm mesma medida.
  • Conclusão: o paralelogramo tem todos os lados iguais, ou seja, é um losango.
  • Assim fechamos a recíproca: diagonais perpendiculares ⇔ losango.

Resposta

  1. As diagonais de um paralelogramo têm a mesma medida se, e somente se, o paralelogramo é um retângulo.
  2. As diagonais de um losango são perpendiculares. Reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares então ele é um losango.

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