]
- Mostre que as diagonais de um paralelogramo têm mesma medida se e somente se o paralelogramo é um retângulo.
Sugestão: Traduza para
.
- Mostre que as diagonais de um losango:
(a) são perpendiculares e reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares, ele é um losango;
Sugestão: Traduza para
(a) são perpendiculares e reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares, ele é um losango;
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que se pede):
- (21) Mostrar que as diagonais de um paralelogramo têm a mesma medida se, e somente se, o paralelogramo é um retângulo.
- Sugestão já dada: traduzir o problema para a igualdade de vetores
e relacioná-la com . - (22) Mostrar que as diagonais de um losango são perpendiculares e, reciprocamente, que se um paralelogramo tem diagonais perpendiculares então ele é um losango.
- Informação que vamos usar (implícita no enunciado): num paralelogramo, podemos escolher um vértice como origem e representar os dois lados adjacentes por vetores
e . As diagonais são então representadas pelos vetores e . - Não há outras hipóteses escondidas: assumimos o modelo vetorial padrão para paralelogramos.
Passo 2
Ferramentas vetoriais básicas que vamos precisar (aula rápida e necessária):
- Definição de norma e produto escalar: para um vetor
, a norma é . O quadrado da norma pode ser escrito com produto escalar como . - Produto escalar e perpendicularidade: dois vetores
e são perpendiculares exatamente quando . Vou usar essa equivalência várias vezes. - Identidade de expansão: para quaisquer vetores
e ,
Essa fórmula é só a expansão do produto escalar, igualzinho ao que fazemos com quadrados escalares.
- No nosso contexto: os vetores das diagonais são
e . Se então .
Passo 3
Resolução de (21) — parte "se
": suponha que as diagonais têm mesma medida.
- Hipótese:
. - Elevo ao quadrado (não muda nada pois norma é não negativa):
- Expando ambos os lados usando a identidade do passo anterior:
- Cancelo os termos iguais
e em ambos os lados, fica:
- Somando
em ambos os lados obtemos
- Conclusão:
é perpendicular a . No paralelogramo isso significa que os lados adjacentes são perpendiculares, ou seja, o paralelogramo é um retângulo. (Definição usada: retângulo = paralelogramo com ângulos retos.)
Passo 4
Resolução de (21) — parte "somente se
": suponha que o paralelogramo é um retângulo.
- Hipótese:
, logo . - Calculo as normas ao quadrado das diagonais:
- Como os quadrados das normas coincidem, as normas coincidem:
- Conclusão: Se o paralelogramo é retângulo então as diagonais têm a mesma medida.
- Assim fechamos a equivalência pedida em (21):
se e somente se , que é exatamente o enunciado sobre diagonais e retângulo.
Passo 5
Resolução de (22) — direcção: “se é losango então as diagonais são perpendiculares”.
- Definição prática: um losango é um paralelogramo cujos lados têm a mesma medida; em vetores isso é
. - Calculo o produto escalar das diagonais:
pois
.
- Se
então . - Logo
, isto é, as diagonais são perpendiculares. - Exemplo concretinho (para fixar): escolha
e . Temos , então é um losango; as diagonais são e , claramente perpendiculares.
Passo 6
Resolução de (22) — recíproca: “se um paralelogramo tem diagonais perpendiculares então é losango”.
- Hipótese: as diagonais são perpendiculares, isto é,
- Como no passo anterior, esse produto escalar é
. Portanto
- Tirando raiz (normas são não negativas) obtemos
, logo os lados adjacentes têm mesma medida. - Conclusão: o paralelogramo tem todos os lados iguais, ou seja, é um losango.
- Assim fechamos a recíproca: diagonais perpendiculares ⇔ losango.
Resposta
-
As diagonais de um paralelogramo têm a mesma medida se, e somente se, o paralelogramo é um retângulo.
-
As diagonais de um losango são perpendiculares. Reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares então ele é um losango.