Mostre que se E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) são bases ortonormais, então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M \cdot M^{t}=M^{t} \cdot M=I, onde I é a matriz identidade (matrizes com tal propriedade chamam-se matrizes ortogonais).
Sugestão: Sendo M=\left(a_{i j}\right), use as relações
\vec{f}_{i} \cdot \vec{f}_{j}= \begin{cases}0, & \text { se } i \neq j \\\\ 1, & \text { se } i=j\end{cases}
para concluir que
\begin{aligned}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: queremos provar que, se E=(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}) e F=(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) são bases ortonormais, então a matriz de mudança de base M de E para F satisfaz
M\cdot M^{t}=M^{t}\cdot M=I.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo importante):
Cada \vec{f}_{j} é escrito nas coordenadas da base E como uma combinação linear
\vec{f}_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i j}\,\vec{e}_{i},
onde a_{ij} é a i-ésima coordenada de \vec{f}_{j} na base E.
A matriz M=(a_{ij}) tem, portanto, como coluna j o vetor coluna das coordenadas de \vec{f}_{j} em E.
Ortonormalidade das bases significa que, para quaisquer índices,
Isto vem direto da linearidade do produto escalar em cada argumento. Vou aplicar essa fórmula às combinações que representam \vec{f}_{i} e \vec{f}_{j}.
Passo 3
Calculemos \vec{f}_{i}\cdot\vec{f}_{j} usando as expressões das \vec{f} em E:
Como a base E é ortonormal, \vec{e}_{p}\cdot\vec{e}_{q}=\delta_{pq} (onde \delta_{pq} é o delta de Kronecker). Assim todos os termos com p\ne q somam zero e ficamos com
logo \det M=\pm 1\neq 0, então M é invertível. Como M^{t}M=I, multiplica-se à esquerda por M^{-1} e obtém-se M^{-1}M^{t}=I, ou mais diretamente a igualdade M^{-1}=M^{t}. Daí multiplicando à esquerda por M temos
M M^{t}=I.
Passo 7
Resumo da conclusão: mostramos que M^{t}M=I usando as coordenadas das \vec{f}_{j} na base E e a ortonormalidade, e então deduzimos que M é invertível com M^{-1}=M^{t}, o que implica M M^{t}=I. Assim ambas as igualdades pedidas estão provadas; matrizes satisfazendo isso chamam-se ortogonais.