1. Mostre que se E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) e F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) são bases ortonormais, então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M \cdot M^{t}=M^{t} \cdot M=I, onde I é a matriz identidade (matrizes com tal propriedade chamam-se matrizes ortogonais).
    Sugestão: Sendo M=\left(a_{i j}\right), use as relações
\vec{f}_{i} \cdot \vec{f}_{j}= \begin{cases}0, & \text { se } i \neq j \\\\ 1, & \text { se } i=j\end{cases}
para concluir que
\begin{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: queremos provar que, se E=(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}) e F=(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}) são bases ortonormais, então a matriz de mudança de base M de E para F satisfaz
M\cdot M^{t}=M^{t}\cdot M=I.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo importante):
  • Cada \vec{f}_{j} é escrito nas coordenadas da base E como uma combinação linear
\vec{f}_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i j}\,\vec{e}_{i},
onde a_{ij} é a i-ésima coordenada de \vec{f}_{j} na base E.
  • A matriz M=(a_{ij}) tem, portanto, como coluna j o vetor coluna das coordenadas de \vec{f}_{j} em E.
  • Ortonormalidade das bases significa que, para quaisquer índices,
\vec{e}_{p}\cdot\vec{e}_{q}=\begin{cases}0,& p\ne q,\\[4pt]1,& p=q,\end{cases} \qquad \vec{f}_{i}\cdot\vec{f}_{j}=\begin{cases}0,& i\ne j,\\[4pt]1,& i=j.\end{cases}
Não vou resolver nada ainda; só defini as variáveis e os dados.]

Passo 2

Propriedade do produto escalar (bilinearidade) que vou usar: se \vec{u}=\sum_{p} \alpha_{p}\vec{e}_{p} e \vec{v}=\sum_{q}\beta_{q}\vec{e}_{q}, então
\vec{u}\cdot\vec{v}=\sum_{p}\sum_{q}\alpha_{p}\beta_{q}(\vec{e}_{p}\cdot\vec{e}_{q}).
Isto vem direto da linearidade do produto escalar em cada argumento. Vou aplicar essa fórmula às combinações que representam \vec{f}_{i} e \vec{f}_{j}.

Passo 3

Calculemos \vec{f}_{i}\cdot\vec{f}_{j} usando as expressões das \vec{f} em E:
\vec{f}_{i}=\sum_{p=1}^{3} a_{p i}\,\vec{e}_{p},\qquad \vec{f}_{j}=\sum_{q=1}^{3} a_{q j}\,\vec{e}_{q}.
Aplicando a bilinearidade do produto escalar:
\vec{f}_{i}\cdot\vec{f}_{j} = \sum_{p=1}^{3}\sum_{q=1}^{3} a_{p i}\,a_{q j}\,(\vec{e}_{p}\cdot\vec{e}_{q}).
Como a base E é ortonormal, \vec{e}_{p}\cdot\vec{e}_{q}=\delta_{pq} (onde \delta_{pq} é o delta de Kronecker). Assim todos os termos com p\ne q somam zero e ficamos com
\vec{f}_{i}\cdot\vec{f}_{j}=\sum_{p=1}^{3} a_{p i}\,a_{p j}.

Passo 4

Interpretação matricial do somatório: pela definição de multiplicação de matrizes, para M=(a_{ij}) vale
(M^{t}M)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} (M^{t})_{ik}\,M_{kj} = \sum_{k=1}^{3} M_{k i}\,M_{k j} = \sum_{p=1}^{3} a_{p i}\,a_{p j}.
Portanto, juntando com o resultado do passo anterior,
\vec{f}_{i}\cdot\vec{f}_{j}=(M^{t}M)_{ij}.

Passo 5

Usando agora a ortonormalidade da base F, isto é \vec{f}_{i}\cdot\vec{f}_{j}=\delta_{ij}, obtemos
(M^{t}M)_{ij}=\delta_{ij} \quad\text{para todo }i,j.
Isto significa, por igualdade de todas as entradas, que
M^{t}M=I.

Passo 6

A partir de M^{t}M=I podemos concluir também que M é invertível e que M^{-1}=M^{t}. Uma forma rápida de ver a invertibilidade é tomar determinantes:
\det(M^{t}M)=\det(I)\Rightarrow \det(M^{t})\det(M)=1\Rightarrow (\det M)^{2}=1,
logo \det M=\pm 1\neq 0, então M é invertível. Como M^{t}M=I, multiplica-se à esquerda por M^{-1} e obtém-se M^{-1}M^{t}=I, ou mais diretamente a igualdade M^{-1}=M^{t}. Daí multiplicando à esquerda por M temos
M M^{t}=I.

Passo 7

Resumo da conclusão: mostramos que M^{t}M=I usando as coordenadas das \vec{f}_{j} na base E e a ortonormalidade, e então deduzimos que M é invertível com M^{-1}=M^{t}, o que implica M M^{t}=I. Assim ambas as igualdades pedidas estão provadas; matrizes satisfazendo isso chamam-se ortogonais.

Resposta

M^{t}M=I
M M^{t}=I

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