Mostre que a diferença entre as frequências dos fótons emitidos nas transições n+1 \rightarrow n e n+2 \rightarrow n+1, no átomo de hidrogênio, pode ser escrita como:
\Delta \nu=c R_{H}\left(\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a diferença entre as frequências dos fótons emitidos nas transições n+1 \rightarrow n e n+2 \rightarrow n+1 no átomo de hidrogênio pode ser escrita como
\Delta \nu = c R_{H}\left(\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\right).
Informações/restrições fornecidas:
  • As transições são n+1 \rightarrow n e n+2 \rightarrow n+1, com n inteiro positivo.
  • Aparece a constante R_{H} e a velocidade da luz c na formulação pedida.

Passo 2

Lembração e fórmula que vamos usar (sobre fótons e níveis do átomo):
  • Quando um elétron salta de um nível de energia E_i para um nível inferior E_f ele emite um fóton de frequência \nu tal que a energia do fóton é a diferença de níveis:
h\nu = E_i - E_f,
onde h é a constante de Planck.
  • Para o átomo de hidrogênio (fórmula de Rydberg / modelos de Bohr), os níveis de energia podem ser escritos como:
E_n = -\dfrac{h c R_{H}}{n^2},
onde:
  • E_n é a energia do nível com número quântico n,
  • h é a constante de Planck,
  • c é a velocidade da luz,
  • R_{H} é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em unidades de comprimento inverso, por exemplo \mathrm{m^{-1}}),
  • n é inteiro positivo.
    Explicação curta: a forma E_n \propto -1/n^2 vem do modelo de Bohr; multiplicando pela constante cR_H e por h obtemos a energia em joules compatível com h\nu. A frequência de uma transição n_i\to n_f fica, portanto,
\nu = c R_{H}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Aqui cada símbolo já foi definido em cima.

Passo 3

Escrevo as duas frequências pedidas usando a fórmula acima:
  • Para a transição n+1 \rightarrow n (índice inicial n_i=n+1, final n_f=n):
\nu_1 = c R_{H}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right).
  • Para a transição n+2 \rightarrow n+1 (índice inicial n_i=n+2, final n_f=n+1):
\nu_2 = c R_{H}\left(\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{(n+2)^2}\right).

Passo 4

A diferença pedida é
\Delta \nu=\nu_1-\nu_2.
Substituindo \nu_1 e \nu_2:
\Delta \nu = c R_{H}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right) - c R_{H}\left(\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{(n+2)^2}\right).
Fatorando cR_H:
\Delta \nu = c R_{H}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{2}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2}\right).

Passo 5

Agora simplifico a expressão algébrica interna passo a passo.
Tomemos a fração
S \equiv \frac{1}{n^2} - \frac{2}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2}.
Coloco em denominador comum n^2 (n+1)^2 (n+2)^2. O numerador resultante é
N = (n+1)^2 (n+2)^2 - 2\,n^2 (n+2)^2 + n^2 (n+1)^2.
Vou expandir e simplificar cada termo (faça as contas devagar na prova):
  • (n+1)^2(n+2)^2 = n^4 + 6n^3 +13 n^2 +12 n +4,
  • n^2(n+2)^2 = n^4 +4 n^3 +4 n^2,
  • n^2(n+1)^2 = n^4 +2 n^3 + n^2.
    Substituindo em N:
N = (n^4 + 6n^3 +13 n^2 +12 n +4) - 2(n^4 +4 n^3 +4 n^2) + (n^4 +2 n^3 + n^2).
Somando termo a termo obtemos:
N = 6 n^2 + 12 n + 4.
Portanto
S = \frac{6 n^2 + 12 n + 4}{n^2 (n+1)^2 (n+2)^2}.
Logo a diferença de frequência é
\Delta \nu = c R_{H}\,\frac{6 n^2 + 12 n + 4}{n^2 (n+1)^2 (n+2)^2}.
Podemos factorar um 2 no numerador:
\Delta \nu = 2\,c R_{H}\,\frac{3 n^2 + 6 n + 2}{n^2 (n+1)^2 (n+2)^2}.

Passo 6

Comparação com a expressão dada no enunciado:
  • A expressão pedida no enunciado era
\Delta \nu \stackrel{?}{=} c R_{H}\left(\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\right).
  • As duas expressões não coincidem. Um modo simples de ver isso é testar com um valor concreto, por exemplo n=1:
    • A expressão correta (obtida acima) dá
    \Delta \nu = cR_H\left(\frac{6\cdot1^2+12\cdot1+4}{1^2\cdot2^2\cdot3^2}\right) = cR_H\left(\frac{22}{36}\right)=cR_H\left(\frac{11}{18}\right)\approx 0{,}6111\,cR_H.
    • A expressão proposta no enunciado daria
    cR_H\left(\frac{2}{1\cdot2\cdot3}\right)=cR_H\left(\frac{2}{6}\right)=cR_H\left(\frac{1}{3}\right)\approx 0{,}3333\,cR_H.Esses valores não são iguais, logo a fórmula dada no enunciado é incorreta.
  • Conclusão: a expressão correta para a diferença pedida é a que obtivemos no Passo 5 e não a do enunciado.

Resposta

\Delta \nu = c R_{H}\,\frac{6 n^2 + 12 n + 4}{n^2 (n+1)^2 (n+2)^2}

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