Mostre que a diferença entre as frequências dos fótons emitidos nas transições
e
, no átomo de hidrogênio, pode ser escrita como:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a diferença entre as frequências dos fótons emitidos nas transições
e
no átomo de hidrogênio pode ser escrita como
Informações/restrições fornecidas:
- As transições são
e , com inteiro positivo. - Aparece a constante
e a velocidade da luz na formulação pedida.
Passo 2
Lembração e fórmula que vamos usar (sobre fótons e níveis do átomo):
- Quando um elétron salta de um nível de energia
para um nível inferior ele emite um fóton de frequência tal que a energia do fóton é a diferença de níveis:
onde
é a constante de Planck.
- Para o átomo de hidrogênio (fórmula de Rydberg / modelos de Bohr), os níveis de energia podem ser escritos como:
onde:
-
é a energia do nível com número quântico , -
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em unidades de comprimento inverso, por exemplo ), -
é inteiro positivo.
Explicação curta: a formavem do modelo de Bohr; multiplicando pela constante e por obtemos a energia em joules compatível com . A frequência de uma transição fica, portanto,
Aqui cada símbolo já foi definido em cima.
Passo 3
Escrevo as duas frequências pedidas usando a fórmula acima:
- Para a transição
(índice inicial , final ):
- Para a transição
(índice inicial , final ):
Passo 4
A diferença pedida é
Substituindo
e
:
Fatorando
:
Passo 5
Agora simplifico a expressão algébrica interna passo a passo.
Tomemos a fração
Tomemos a fração
Coloco em denominador comum
. O numerador resultante é
Vou expandir e simplificar cada termo (faça as contas devagar na prova):
-
, -
, -
.
Substituindo em:
Somando termo a termo obtemos:
Portanto
Logo a diferença de frequência é
Podemos factorar um 2 no numerador:
Passo 6
Comparação com a expressão dada no enunciado:
- A expressão pedida no enunciado era
- As duas expressões não coincidem. Um modo simples de ver isso é testar com um valor concreto, por exemplo
: - A expressão correta (obtida acima) dá
- A expressão proposta no enunciado daria
Esses valores não são iguais, logo a fórmula dada no enunciado é incorreta. - Conclusão: a expressão correta para a diferença pedida é a que obtivemos no Passo 5 e não a do enunciado.