Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido na transição de n+2 \rightarrow n+1, chamada E_{1}, pode ser relacionada com a energia E_{2} da transição n+1 \rightarrow n por:
E_{1}=E_{2}\left[\frac{n^{2}}{(n+2)^{2}} \cdot \frac{2 n+3}{2 n+1}\right]

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pede-se para mostrar que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido na transição n+2 \rightarrow n+1, chamada E_{1}, pode ser escrita em função da energia E_{2} da transição n+1 \rightarrow n pela relação
E_{1}=E_{2}\left[\frac{n^{2}}{(n+2)^{2}} \cdot \frac{2 n+3}{2 n+1}\right].
  • Informações relevantes que vamos usar (vindas do modelo de Bohr):
    • Os níveis de energia do átomo de hidrogênio (ou de um átomo hidrogenoide) na teoria de Bohr têm a forma proporcional a 1/n^{2} e são negativos (estado ligado). Podemos escrever genericamente
    E_{n}=-\frac{K}{n^{2}},onde K>0 é uma constante (para hidrogênio K=13{,}6\\ \text{eV}, mas o valor numérico não será necessário).
    • A energia do fóton emitido numa transição do nível inicial n_{i} para o nível final n_{f} é dada pela diferença de energias do elétron
    E_{\gamma}=E_{i}-E_{f}=E_{n_{i}}-E_{n_{f}}.

Passo 2

Explicando por que usamos E_{n}=-\dfrac{K}{n^{2}} e como se obtém a energia do fóton.
  • Na teoria de Bohr o elétron em torno do núcleo só pode ocupar órbitas discretas cujo índice é n=1,2,3,\dots. A energia associada a cada órbita é dada por E_{n}=-\dfrac{K}{n^{2}}. O sinal negativo indica que o elétron está ligado ao átomo (energia menor que a de um elétron livre, que é zero).
  • Se o elétron vai de um nível mais excitatado ( n_i) para um mais baixo ( n_f<n_i), ele perde energia; essa perda aparece como um fóton com energia
E_{\gamma}=E_{n_i}-E_{n_f}= -\frac{K}{n_i^{2}} -\left(-\frac{K}{n_f^{2}}\right)=K\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
  • Observação importante: a expressão fica positiva porque 1/n_f^{2}>1/n_i^{2} quando n_f<n_i, então E_{\gamma}>0 como deve ser.

Passo 3

Escrever E_{1} e E_{2} usando a fórmula geral.
  • Para a transição n+2 \rightarrow n+1 (inicial n_i=n+2, final n_f=n+1) temos
E_{1}=K\!\left(\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}\right).
  • Para a transição n+1 \rightarrow n (inicial n_i=n+1, final n_f=n) temos
E_{2}=K\!\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right).
  • Como K é comum aos dois, ao formar a razão E_{1}/E_{2} o K cancela — isso torna a demonstração independente do valor numérico de K.

Passo 4

Calcular a razão E_{1}/E_{2} passo a passo e simplificar usando identidades algébricas.
  • Começamos pela razão:
\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{\dfrac{1}{(n+1)^{2}}-\dfrac{1}{(n+2)^{2}}}{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}}}.
  • Colocamos cada diferença sobre um denominador comum para facilitar a simplificação. Para o numerador:
\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}} =\frac{(n+2)^{2}-(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}.
Para o denominador:
\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}} =\frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}.
  • Agora dividimos numerador por denominador (ou multiplicamos pelo inverso):
\frac{E_{1}}{E_{2}} =\frac{(n+2)^{2}-(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}(n+2)^{2}} \cdot \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}-n^{2}}.
  • Cancelam-se um fator (n+1)^{2} no numerador com um no denominador, ficando
\frac{E_{1}}{E_{2}} = n^{2}\cdot\frac{(n+2)^{2}-(n+1)^{2}}{(n+2)^{2}\big[(n+1)^{2}-n^{2}\big]}.
  • Use a identidade de diferença de quadrados (a+b)^{2}-(a)^{2}=2a+1 aplicada às nossas quantidades (mais explicitamente):
(n+2)^{2}-(n+1)^{2}=(n+2-(n+1))((n+2)+(n+1))=1\cdot(2n+3)=2n+3,
(n+1)^{2}-n^{2}=((n+1)-n)((n+1)+n)=1\cdot(2n+1)=2n+1.
  • Substituindo esses resultados na razão:
\frac{E_{1}}{E_{2}} = n^{2}\cdot\frac{2n+3}{(n+2)^{2}(2n+1)}.
  • Portanto
E_{1}=E_{2}\left[\frac{n^{2}}{(n+2)^{2}}\cdot\frac{2n+3}{2n+1}\right],
que é exatamente a relação pedida.

Passo 5

Comentário final e intuição rápida.
  • Intuitivamente: cada energia de fóton é a diferença entre dois termos \propto 1/n^{2}. A relação entre duas transições vizinhas é uma razão de diferenças de quadrados que reduz-se à expressão simples obtida. Não é preciso conhecer o valor de K porque ele cancela.
  • Se quiser praticar, experimente colocar um n concreto (por exemplo n=1 ou n=2) e verificar numericamente que a relação vale.

Resposta

E_{1}=E_{2}\left[\frac{n^{2}}{(n+2)^{2}} \cdot \frac{2 n+3}{2 n+1}\right]

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