Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido na transição de
, chamada
, pode ser relacionada com a energia
da transição
por:
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
- Pede-se para mostrar que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido na transição
, chamada , pode ser escrita em função da energia da transição pela relação
- Informações relevantes que vamos usar (vindas do modelo de Bohr):
- Os níveis de energia do átomo de hidrogênio (ou de um átomo hidrogenoide) na teoria de Bohr têm a forma proporcional a
e são negativos (estado ligado). Podemos escrever genericamente
onde é uma constante (para hidrogênio , mas o valor numérico não será necessário). - A energia do fóton emitido numa transição do nível inicial
para o nível final é dada pela diferença de energias do elétron
- Os níveis de energia do átomo de hidrogênio (ou de um átomo hidrogenoide) na teoria de Bohr têm a forma proporcional a
Passo 2
Explicando por que usamos
e como se obtém a energia do fóton.
- Na teoria de Bohr o elétron em torno do núcleo só pode ocupar órbitas discretas cujo índice é
. A energia associada a cada órbita é dada por . O sinal negativo indica que o elétron está ligado ao átomo (energia menor que a de um elétron livre, que é zero). - Se o elétron vai de um nível mais excitatado (
) para um mais baixo ( ), ele perde energia; essa perda aparece como um fóton com energia
- Observação importante: a expressão fica positiva porque
quando , então como deve ser.
Passo 3
Escrever
e
usando a fórmula geral.
- Para a transição
(inicial , final ) temos
- Para a transição
(inicial , final ) temos
- Como
é comum aos dois, ao formar a razão o cancela — isso torna a demonstração independente do valor numérico de .
Passo 4
Calcular a razão
passo a passo e simplificar usando identidades algébricas.
- Começamos pela razão:
- Colocamos cada diferença sobre um denominador comum para facilitar a simplificação. Para o numerador:
Para o denominador:
- Agora dividimos numerador por denominador (ou multiplicamos pelo inverso):
- Cancelam-se um fator
no numerador com um no denominador, ficando
- Use a identidade de diferença de quadrados
aplicada às nossas quantidades (mais explicitamente):
- Substituindo esses resultados na razão:
- Portanto
que é exatamente a relação pedida.
Passo 5
Comentário final e intuição rápida.
- Intuitivamente: cada energia de fóton é a diferença entre dois termos
. A relação entre duas transições vizinhas é uma razão de diferenças de quadrados que reduz-se à expressão simples obtida. Não é preciso conhecer o valor de porque ele cancela. - Se quiser praticar, experimente colocar um
concreto (por exemplo ou ) e verificar numericamente que a relação vale.