Mostre que, para o átomo de hidrogênio, a razão entre o comprimento de onda do fóton emitido na transição de uma órbita n+2 \rightarrow n e o comprimento de onda emitido na transição n+1 \rightarrow n é dada por:
\frac{\lambda_{n+2 \rightarrow n}}{\lambda_{n+1 \rightarrow n}}=\frac{(n+1)^{2}(2 n+1)}{n^{2}(2 n+3)}

Passo 1

O enunciado dá transições entre níveis do átomo de hidrogênio e pede que se mostre uma razão entre comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições:
  • Transição 1: n+2 \rightarrow n.
  • Transição 2: n+1 \rightarrow n.
O que se pede: mostrar que
\frac{\lambda_{n+2 \rightarrow n}}{\lambda_{n+1 \rightarrow n}}=\frac{(n+1)^{2}(2 n+1)}{n^{2}(2 n+3)}.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • n é um número inteiro positivo (nível eletrônico).
  • Trata-se de fótons emitidos nas transições entre níveis do hidrogênio (fótons de emissão).

Passo 2

Relembrando a relação entre energia e comprimento de onda do fóton: quando um elétron passa do nível n_i para o nível n_f (com n_i>n_f), a energia do fóton emitido é
E_{\text{fóton}}=E_{n_i}-E_{n_f}.ó
A energia do fóton está ligada ao comprimento de onda por
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda},ó
onde
  • h é a constante de Planck,
  • c é a velocidade da luz,
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton.
Para o átomo de hidrogênio (modelo de Bohr / níveis de energia), a energia do nível n é
E_n=-\dfrac{R_H hc}{n^{2}},
onde R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em unidades de comprimento^{-1}). Note que R_H hc é uma constante com dimensões de energia; a forma importante para nós é a diferença de inversos de quadrados de n.
A partir disso, a fórmula prática para o comprimento de onda de emissão é a fórmula de Rydberg:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\!\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right).
Aqui todas as quantidades físicas constantes ( R_H, h, c) se cancelam nas razões que vamos calcular, então basta trabalhar com a parte \left(\dfrac{1}{n_{f}^{2}}-\dfrac{1}{n_{i}^{2}}\right).

Passo 3

Vamos escrever a diferença \dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{(n+k)^{2}} de forma algébrica simples (essa expressão aparece quando n_f=n e n_i=n+k). Calculemos:
\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+k)^{2}} =\frac{(n+k)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+k)^{2}} =\frac{2nk+k^{2}}{n^{2}(n+k)^{2}}.
Portanto, usando \dfrac{1}{\lambda}=R_H\big(\cdots\big), obtemos
\lambda_{\,n+k\rightarrow n}=\frac{1}{R_H}\cdot\frac{n^{2}(n+k)^{2}}{2nk+k^{2}}.
Observação: a constante 1/R_H é comum a todas as transições e vai se cancelar nas razões.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para os dois casos de interesse.
  • Para k=1 (transição n+1\rightarrow n):
\lambda_{n+1\rightarrow n}=\frac{1}{R_H}\cdot\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{2n+1}.
  • Para k=2 (transição n+2\rightarrow n):
\lambda_{n+2\rightarrow n}=\frac{1}{R_H}\cdot\frac{n^{2}(n+2)^{2}}{4n+4} =\frac{1}{R_H}\cdot\frac{n^{2}(n+2)^{2}}{4(n+1)}.

Passo 5

Formemos a razão pedida, cancelando 1/R_H e n^{2}:
\frac{\lambda_{n+2\rightarrow n}}{\lambda_{n+1\rightarrow n}} =\frac{\dfrac{n^{2}(n+2)^{2}}{4(n+1)}}{\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{2n+1}} =\frac{(n+2)^{2}}{4(n+1)}\cdot\frac{2n+1}{(n+1)^{2}}.
Agora simplificamos passo a passo:
\frac{\lambda_{n+2\rightarrow n}}{\lambda_{n+1\rightarrow n}} =\frac{(2n+1)(n+2)^{2}}{4(n+1)^{3}}.
Portanto a razão correta obtida pela dedução acima é
\boxed{\displaystyle \frac{\lambda_{n+2\rightarrow n}}{\lambda_{n+1\rightarrow n}} =\frac{(2n+1)(n+2)^{2}}{4\,(n+1)^{3}}.}

Passo 6

Comparação com a expressão dada no enunciado: a expressão que deduzimos
\frac{(2n+1)(n+2)^{2}}{4\,(n+1)^{3}}
não é algebraicamente igual à expressão do enunciado
\frac{(n+1)^{2}(2n+1)}{n^{2}(2n+3)}.
Por exemplo, para n=1 a expressão que deduzimos vale \dfrac{27}{32}\approx0{,}84375, enquanto a expressão do enunciado vale \dfrac{12}{5}=2{,}4; são valores diferentes. Logo a identidade proposta no enunciado é incorreta — a razão correta é a que obtivemos.

Resposta

\displaystyle \frac{\lambda_{n+2\rightarrow n}}{\lambda_{n+1\rightarrow n}}=\frac{(2n+1)(n+2)^{2}}{4\,(n+1)^{3}}

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