Mostre que, para o átomo de hidrogênio, a razão entre o comprimento de onda do fóton emitido na transição de uma órbita
e o comprimento de onda emitido na transição
é dada por:
Passo 1
O enunciado dá transições entre níveis do átomo de hidrogênio e pede que se mostre uma razão entre comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições:
- Transição 1:
. - Transição 2:
.
O que se pede: mostrar que
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
-
é um número inteiro positivo (nível eletrônico). - Trata-se de fótons emitidos nas transições entre níveis do hidrogênio (fótons de emissão).
Passo 2
Relembrando a relação entre energia e comprimento de onda do fóton: quando um elétron passa do nível
para o nível
(com
), a energia do fóton emitido é
A energia do fóton está ligada ao comprimento de onda por
onde
-
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é o comprimento de onda do fóton.
Para o átomo de hidrogênio (modelo de Bohr / níveis de energia), a energia do nível
é
onde
é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em unidades de comprimento^{-1}). Note que
é uma constante com dimensões de energia; a forma importante para nós é a diferença de inversos de quadrados de
.
A partir disso, a fórmula prática para o comprimento de onda de emissão é a fórmula de Rydberg:
Aqui todas as quantidades físicas constantes (
) se cancelam nas razões que vamos calcular, então basta trabalhar com a parte
.
Passo 3
Vamos escrever a diferença
de forma algébrica simples (essa expressão aparece quando
e
). Calculemos:
Portanto, usando
, obtemos
Observação: a constante
é comum a todas as transições e vai se cancelar nas razões.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para os dois casos de interesse.
- Para
(transição ):
- Para
(transição ):
Passo 5
Formemos a razão pedida, cancelando
e
:
Agora simplificamos passo a passo:
Portanto a razão correta obtida pela dedução acima é
Passo 6
Comparação com a expressão dada no enunciado: a expressão que deduzimos
não é algebraicamente igual à expressão do enunciado
Por exemplo, para
a expressão que deduzimos vale
, enquanto a expressão do enunciado vale
; são valores diferentes. Logo a identidade proposta no enunciado é incorreta — a razão correta é a que obtivemos.