Sejam os planos paralelos
a x+b y+c z=d_{1} \quad \text { e } a x+b y+c z=d_{2} .
(a) Mostre que a distância entre os planos é
d=\frac{\left|d_{1}-d_{2}\right|}{\|a i+b j+c k\|}
(b) Encontre a distância entre os planos 2 x+3 y-z=6 e 2 x+3 y-z=12.

Passo 1

O enunciado dá dois planos paralelos
a x+b y+c z=d_{1} \quad\text{e}\quad a x+b y+c z=d_{2}
com o mesmo vetor normal \boldsymbol{n}=(a,b,c). Queremos a distância mínima entre eles.

Passo 2

Escolhemos um ponto P sobre o primeiro plano. Supondo a\neq0, podemos pôr y=0, z=0 e então
x=\frac{d_{1}}{a},
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P\Bigl(\tfrac{d_{1}}{a},0,0\Bigr)
satisfaz a x+b y+c z=d_{1}.

Passo 3

Recordamos que a distância de um ponto P(x_{0},y_{0},z_{0}) ao plano
a x+b y+c z=d
é dada por
\frac{\bigl|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}-d\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao ponto P\bigl(\tfrac{d_{1}}{a},0,0\bigr) e ao plano a x+b y+c z=d_{2}, obtemos
\frac{\bigl|a\,(d_{1}/a)+0+0-d_{2}\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} =\frac{\bigl|d_{1}-d_{2}\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},
o que prova a parte (a).

Passo 5

Na parte (b) temos a=2, b=3, c=-1, d_{1}=6, d_{2}=12. Assim
d=\frac{\bigl|6-12\bigr|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-1)^{2}}} =\frac{6}{\sqrt{14}} =\frac{3\sqrt{14}}{7}.

Resposta

(a) \displaystyle d=\frac{\lvert d_{1}-d_{2}\rvert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
(b) \displaystyle d=\frac{3\sqrt{14}}{7}.

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