Mostre que a distância entre as retas reversas r e s é dada por
d(r, s)=\frac{|\langle\overrightarrow{P Q}, u \times v\rangle|}{\|u \times v\|},
onde P \in r, Q \in s, u e v são vetores diretores de r e s, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a distância entre duas retas reversas r e s pode ser escrita como
d(r,s)=\frac{|\langle\overrightarrow{P Q}, u \times v\rangle|}{\|u \times v\|},
onde estão dadas as seguintes informações:
  • P\in r e Q\in s são pontos quaisquer em cada reta;
  • u é um vetor diretor de r;
  • v é um vetor diretor de s;
  • as retas são reversas (isto é, não se intersectam e não são paralelas), portanto u\times v\neq 0.
O que o problema pede explicitamente é provar a igualdade acima, isto é, mostrar que a distância entre as duas retas é dada pelo numerador (o valor absoluto do produto triple escalar de \overrightarrow{PQ} com u\times v) dividido pela norma de u\times v.

Passo 2

Definição precisa da distância entre duas retas reversas e propriedade do segmento mínimo.
  • A distância entre duas retas r e s é o menor valor de \|X-Y\| quando X percorre r e Y percorre s. Em símbolos,
d(r,s)=\min_{X\in r,\;Y\in s}\|X-Y\|.
  • Um fato geométrico (que vamos justificar) é que o segmento que liga os pontos X\in r e Y\in s que realizam essa distância mínima é perpendicular a ambas as retas. Vou mostrar isso de forma analítica (essa justificativa é útil na prova).

Passo 3

Prova analítica de que o segmento de menor comprimento é perpendicular a ambas as retas.
  • Parametrizamos as retas: pontos de r têm a forma X(t)=P+t\,u e pontos de s têm a forma Y(s)=Q+s\,v, com t,s\in\mathbb{R}.
  • Considere a função que mede o quadrado da distância entre esses pontos:
F(t,s)=\|X(t)-Y(s)\|^{2}=\|\overrightarrow{PQ}+t\,u-s\,v\|^{2}.
Aqui \overrightarrow{PQ}=P-Q (atenção à orientação; qualquer escolha consistente funciona porque usaremos valor absoluto no final).
  • Para encontrar o mínimo de F em (t,s) tomamos derivadas parciais e anulamos:
\frac{\partial F}{\partial t}=2\langle\overrightarrow{PQ}+t\,u-s\,v,\,u\rangle=0,
\frac{\partial F}{\partial s}=-2\langle\overrightarrow{PQ}+t\,u-s\,v,\,v\rangle=0.
  • As duas equações podem ser escritas como
\langle\overrightarrow{PQ}+t\,u-s\,v,\,u\rangle=0, \qquad \langle\overrightarrow{PQ}+t\,u-s\,v,\,v\rangle=0.
  • Essas igualdades dizem que o vetor \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{PQ}+t\,u-s\,v que liga os pontos de mínima separação é ortogonal tanto a u quanto a v. Logo o segmento de menor comprimento é perpendicular às duas retas.

Passo 4

Interpretação geométrica: direção comum ao vetor perp. e produto vetorial.
  • Se um vetor é ortogonal a u e a v simultaneamente, então ele é paralelo ao vetor u\times v (porque o produto vetorial u\times v é, por definição, um vetor ortogonal a ambos).
  • Portanto o vetor mínimo \overrightarrow{XY} é uma múltiplo escalar de u\times v. Em particular sua direção é a direção do vetor normal u\times v.

Passo 5

Uso do produto escalar triplo (produto misto) e interpretação volumétrica para obter a fórmula.
  • Lembretes sobre operações vetoriais:
    • O produto vetorial u\times v é um vetor ortogonal a u e a v com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por u e v: \|u\times v\|=\text{área}(u,v)á.
    • O produto escalar triplo (ou produto misto) \langle a,\,b\times c\rangle é o volume orientado do paralelepípedo cujas arestas são a,b,c. O valor absoluto |\langle a,\,b\times c\rangle| é o volume (sem sinal).
  • Considere o paralelepípedo formado pelos vetores \overrightarrow{PQ}, u e v. O volume desse paralelepípedo é
V=|\langle\overrightarrow{PQ},\,u\times v\rangle|.
  • Se tomarmos como base o paralelogramo gerado por u e v, sua área é \|u\times v\|. A altura h desse paralelepípedo (medida na direção perpendicular ao plano gerado por u e v) satisfaz
V=\text{(área da base)}\times h=\|u\times v\|\cdot h.á
  • Portanto a altura é
h=\frac{|\langle\overrightarrow{PQ},\,u\times v\rangle|}{\|u\times v\|}.
  • Geometricamente essa altura é exatamente a componente de \overrightarrow{PQ} na direção perpendicular ao plano gerado por u e v, ou seja, a distância entre as duas retas (porque o segmento de menor comprimento é perpendicular a ambas e tem direção u\times v). Assim h coincide com d(r,s).

Passo 6

Invariância da fórmula em relação à escolha dos pontos P\in r e Q\in s.
  • Se escolhe outro ponto P'=P+\alpha u em r e outro ponto Q'=Q+\beta v em s, então \overrightarrow{P'Q'}=\overrightarrow{PQ}+\alpha u-\beta v.
  • Como \langle u,\,u\times v\rangle=0 e \langle v,\,u\times v\rangle=0, tem-se
\langle\overrightarrow{P'Q'},\,u\times v\rangle =\langle\overrightarrow{PQ}+\alpha u-\beta v,\,u\times v\rangle =\langle\overrightarrow{PQ},\,u\times v\rangle.
  • Logo o numerador |\langle\overrightarrow{PQ},\,u\times v\rangle| não depende da escolha de P e Q nas retas. A fórmula é bem definida.

Passo 7

Conclusão final: juntar os passos e escrever a expressão pedida.
  • Pelo argumento de minimização temos que o segmento de menor distância é perpendicular a u e v, então tem direção de u\times v.
  • Pela interpretação volumétrica do produto escalar triplo, a componente de \overrightarrow{PQ} na direção normal u\times v tem comprimento
\frac{|\langle\overrightarrow{PQ},\,u\times v\rangle|}{\|u\times v\|},
que é exatamente a distância entre as retas.

Resposta

d(r, s)=\frac{|\langle\overrightarrow{P Q}, u \times v\rangle|}{\|u \times v\|}.

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