Mostre que a distância entre as retas reversas r e s é dada por
d(r, s)=\frac{|\langle\overrightarrow{P Q}, u \times v\rangle|}{\|u \times v\|},
onde P \in r, Q \in s, u e v são vetores diretores de r e s, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a distância entre duas retas reversas r e s pode ser escrita como
d(r,s)=\frac{|\langle\overrightarrow{P Q}, u \times v\rangle|}{\|u \times v\|},
onde estão dadas as seguintes informações:
P\in r e Q\in s são pontos quaisquer em cada reta;
u é um vetor diretor de r;
v é um vetor diretor de s;
as retas são reversas (isto é, não se intersectam e não são paralelas), portanto u\times v\neq 0.
O que o problema pede explicitamente é provar a igualdade acima, isto é, mostrar que a distância entre as duas retas é dada pelo numerador (o valor absoluto do produto triple escalar de \overrightarrow{PQ} com u\times v) dividido pela norma de u\times v.
Passo 2
Definição precisa da distância entre duas retas reversas e propriedade do segmento mínimo.
A distância entre duas retas r e s é o menor valor de \|X-Y\| quando X percorre r e Y percorre s. Em símbolos,
d(r,s)=\min_{X\in r,\;Y\in s}\|X-Y\|.
Um fato geométrico (que vamos justificar) é que o segmento que liga os pontos X\in r e Y\in s que realizam essa distância mínima é perpendicular a ambas as retas. Vou mostrar isso de forma analítica (essa justificativa é útil na prova).
Passo 3
Prova analítica de que o segmento de menor comprimento é perpendicular a ambas as retas.
Parametrizamos as retas: pontos de r têm a forma X(t)=P+t\,u e pontos de s têm a forma Y(s)=Q+s\,v, com t,s\in\mathbb{R}.
Considere a função que mede o quadrado da distância entre esses pontos:
Essas igualdades dizem que o vetor \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{PQ}+t\,u-s\,v que liga os pontos de mínima separação é ortogonal tanto a u quanto a v. Logo o segmento de menor comprimento é perpendicular às duas retas.
Passo 4
Interpretação geométrica: direção comum ao vetor perp. e produto vetorial.
Se um vetor é ortogonal a u e a v simultaneamente, então ele é paralelo ao vetor u\times v (porque o produto vetorial u\times v é, por definição, um vetor ortogonal a ambos).
Portanto o vetor mínimo \overrightarrow{XY} é uma múltiplo escalar de u\times v. Em particular sua direção é a direção do vetor normal u\times v.
Passo 5
Uso do produto escalar triplo (produto misto) e interpretação volumétrica para obter a fórmula.
Lembretes sobre operações vetoriais:
O produto vetorial u\times v é um vetor ortogonal a u e a v com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por u e v: \|u\times v\|=\text{área}(u,v)á.
O produto escalar triplo (ou produto misto) \langle a,\,b\times c\rangle é o volume orientado do paralelepípedo cujas arestas são a,b,c. O valor absoluto |\langle a,\,b\times c\rangle| é o volume (sem sinal).
Considere o paralelepípedo formado pelos vetores \overrightarrow{PQ}, u e v. O volume desse paralelepípedo é
Se tomarmos como base o paralelogramo gerado por u e v, sua área é \|u\times v\|. A altura h desse paralelepípedo (medida na direção perpendicular ao plano gerado por u e v) satisfaz
V=\text{(área da base)}\times h=\|u\times v\|\cdot h.á
Geometricamente essa altura é exatamente a componente de \overrightarrow{PQ} na direção perpendicular ao plano gerado por u e v, ou seja, a distância entre as duas retas (porque o segmento de menor comprimento é perpendicular a ambas e tem direção u\times v). Assim h coincide com d(r,s).
Passo 6
Invariância da fórmula em relação à escolha dos pontos P\in r e Q\in s.
Se escolhe outro ponto P'=P+\alpha u em r e outro ponto Q'=Q+\beta v em s, então \overrightarrow{P'Q'}=\overrightarrow{PQ}+\alpha u-\beta v.
Como \langle u,\,u\times v\rangle=0 e \langle v,\,u\times v\rangle=0, tem-se