Mostre que a distribuição dos elétrons e esfericamente simétrica para um átomo em que um elétron ocupa cada um dos três orbitais p de determinada camada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a distribuição dos elétrons é esfericamente simétrica quando, numa mesma camada atômica, um elétron ocupa cada um dos três orbitais p.
Informações dadas / o que devemos usar:
Existem três orbitais p correspondentes ao momento angular orbital l=1. Costumam ser chamados de p_x, p_y e p_z (formas reais) ou as combinações complexas Y_{1,m} com m=-1,0,1.
Há exatamente um elétron em cada um desses três orbitais.
O objetivo é mostrar que a densidade eletrônica total \rho(\mathbf{r}) resultante depende apenas de r (distância ao núcleo) e não dos ângulos \theta,\varphi — isto é, \rho(\mathbf{r}) é esfericamente simétrica.
Passo 2
Definir o que é a densidade eletrônica de um conjunto de orbitais ocupados (ideia física e fórmula).
Para um átomo em que ocupam-se orbitais monoeletrônicos \psi_i(\mathbf{r}) (cada orbital contendo um elétron, com spin já integrado), a densidade eletrônica total é dada por
\rho(\mathbf{r})=\sum_{i}|\psi_i(\mathbf{r})|^2.
Explicação: essa fórmula é válida quando a função de muitos elétrons é construída como uma combinação adequada (por exemplo um determinante de Slater) de orbitais ortonormais; a densidade de carga eletrônica one-body obtida integrando as demais coordenadas resulta na soma das densidades individuais |\psi_i|^2. Aqui há um elétron em cada orbital p, então a soma tem três termos.
Passo 3
Escrever a forma geral de um orbital p (separação radial e angular) e suas versões reais.
Orbitais atômicos são produtos de parte radial e parte angular. Para um orbital com l=1 (um orbital p) temos, em coordenadas esféricas,
onde se usou a relação entre coordenadas cartesianas e esféricas: x=r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=r\cos\theta. Os fatores de normalização (os “const”) são os mesmos para os três orbitais p (pois têm o mesmo l e mesmo n aqui), então para prova da simetria angular esses constantes comuns não alteram o resultado qualitativo.
Passo 4
Calcular cada densidade |\psi_{p_i}|^2 e somá-las — via abordagem cartesiana simples (intuitiva).
Usando as formas proporcionais \psi_{p_x}\propto R_{n1}(r)\,\dfrac{x}{r} etc., temos
Conclusão desta etapa: o factor angular desapareceu na soma porque x^2+y^2+z^2=r^2. Logo \rho(\mathbf{r}) depende só de r, não de \theta nem de \varphi.
Passo 5
Dar uma versão via harmônicas esféricas (identidade padrão) — reforço conceitual e fórmula elegante.
Em termos das harmônicas esféricas complexas Y_{1m} vale a identidade geral de adição
novamente função apenas de r. Isso é a mesma conclusão, apresentada de forma mais formal: a soma sobre todos os subníveis magnéticos (m=-l,\dots,l) de |Y_{lm}|^2 dá uma constante (2l+1)/(4\pi).
Passo 6
Comentários finais e justificativa das hipóteses usadas (para ficar seguro na prova).
Foi usada a hipótese física habitual: densidade total é soma das densidades de orbitais ocupados (válida para orbitais ortonormais e função de muitos corpos do tipo Slater). Também se usou que os três orbitais p têm a mesma parte radial R_{n1}(r).
Resultado físico: ocupando-se simultaneamente os três orbitais p com um elétron cada (sem viés nas direções), as direções se “cancelam” na soma das densidades angulares e a distribuição resultante é isotrópica (esfericamente simétrica).