1. Mostre que a distribuição dos elétrons e esfericamente simétrica para um átomo em que um elétron ocupa cada um dos três orbitais p de determinada camada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a distribuição dos elétrons é esfericamente simétrica quando, numa mesma camada atômica, um elétron ocupa cada um dos três orbitais p.
Informações dadas / o que devemos usar:
  • Existem três orbitais p correspondentes ao momento angular orbital l=1. Costumam ser chamados de p_x, p_y e p_z (formas reais) ou as combinações complexas Y_{1,m} com m=-1,0,1.
  • Há exatamente um elétron em cada um desses três orbitais.
  • O objetivo é mostrar que a densidade eletrônica total \rho(\mathbf{r}) resultante depende apenas de r (distância ao núcleo) e não dos ângulos \theta,\varphi — isto é, \rho(\mathbf{r}) é esfericamente simétrica.

Passo 2

Definir o que é a densidade eletrônica de um conjunto de orbitais ocupados (ideia física e fórmula).
  • Para um átomo em que ocupam-se orbitais monoeletrônicos \psi_i(\mathbf{r}) (cada orbital contendo um elétron, com spin já integrado), a densidade eletrônica total é dada por
\rho(\mathbf{r})=\sum_{i}|\psi_i(\mathbf{r})|^2.
Explicação: essa fórmula é válida quando a função de muitos elétrons é construída como uma combinação adequada (por exemplo um determinante de Slater) de orbitais ortonormais; a densidade de carga eletrônica one-body obtida integrando as demais coordenadas resulta na soma das densidades individuais |\psi_i|^2. Aqui há um elétron em cada orbital p, então a soma tem três termos.

Passo 3

Escrever a forma geral de um orbital p (separação radial e angular) e suas versões reais.
  • Orbitais atômicos são produtos de parte radial e parte angular. Para um orbital com l=1 (um orbital p) temos, em coordenadas esféricas,
\psi_{n1m}(\mathbf{r}) = R_{n1}(r)\,Y_{1m}(\theta,\varphi),
onde R_{n1}(r) é a parte radial (depende só de r) e Y_{1m}(\theta,\varphi) é a harmônica esférica (parte angular). Aqui m=-1,0,1.
  • As formas reais mais conhecidas são proporcionais a
\begin{aligned} \psi_{p_x}(\mathbf{r}) &= R_{n1}(r)\,\times\,(\text{const})\cdot\sin\theta\cos\varphi \propto R_{n1}(r)\,\frac{x}{r},\\\ \psi_{p_y}(\mathbf{r}) &= R_{n1}(r)\,\times\,(\text{const})\cdot\sin\theta\sin\varphi \propto R_{n1}(r)\,\frac{y}{r},\\\ \psi_{p_z}(\mathbf{r}) &= R_{n1}(r)\,\times\,(\text{const})\cdot\cos\theta \propto R_{n1}(r)\,\frac{z}{r}, \end{aligned}
onde se usou a relação entre coordenadas cartesianas e esféricas: x=r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=r\cos\theta. Os fatores de normalização (os “const”) são os mesmos para os três orbitais p (pois têm o mesmo l e mesmo n aqui), então para prova da simetria angular esses constantes comuns não alteram o resultado qualitativo.

Passo 4

Calcular cada densidade |\psi_{p_i}|^2 e somá-las — via abordagem cartesiana simples (intuitiva).
  • Usando as formas proporcionais \psi_{p_x}\propto R_{n1}(r)\,\dfrac{x}{r} etc., temos
|\psi_{p_x}(\mathbf{r})|^2 \propto |R_{n1}(r)|^2\,\frac{x^2}{r^2},\qquad |\psi_{p_y}(\mathbf{r})|^2 \propto |R_{n1}(r)|^2\,\frac{y^2}{r^2},\qquad |\psi_{p_z}(\mathbf{r})|^2 \propto |R_{n1}(r)|^2\,\frac{z^2}{r^2}.
  • Somando as três densidades (um elétron em cada orbital):
\begin{aligned} \rho(\mathbf{r}) &\propto |R_{n1}(r)|^2\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}\right) \\\ &= |R_{n1}(r)|^2\left(\frac{r^2}{r^2}\right) \\\ &= |R_{n1}(r)|^2. \end{aligned}
  • Conclusão desta etapa: o factor angular desapareceu na soma porque x^2+y^2+z^2=r^2. Logo \rho(\mathbf{r}) depende só de r, não de \theta nem de \varphi.

Passo 5

Dar uma versão via harmônicas esféricas (identidade padrão) — reforço conceitual e fórmula elegante.
  • Em termos das harmônicas esféricas complexas Y_{1m} vale a identidade geral de adição
\sum_{m=-1}^{1}\big|Y_{1m}(\theta,\varphi)\big|^2=\frac{2\cdot 1+1}{4\pi}=\frac{3}{4\pi},
que é independente dos ângulos (é uma constante). Assim, para as funções \psi_{n1m}=R_{n1}(r)Y_{1m}(\theta,\varphi) temos
\sum_{m=-1}^{1}|\psi_{n1m}(\mathbf{r})|^2 = |R_{n1}(r)|^2\sum_{m=-1}^{1}|Y_{1m}(\theta,\varphi)|^2 =|R_{n1}(r)|^2\frac{3}{4\pi},
novamente função apenas de r. Isso é a mesma conclusão, apresentada de forma mais formal: a soma sobre todos os subníveis magnéticos (m=-l,\dots,l) de |Y_{lm}|^2 dá uma constante (2l+1)/(4\pi).

Passo 6

Comentários finais e justificativa das hipóteses usadas (para ficar seguro na prova).
  • Foi usada a hipótese física habitual: densidade total é soma das densidades de orbitais ocupados (válida para orbitais ortonormais e função de muitos corpos do tipo Slater). Também se usou que os três orbitais p têm a mesma parte radial R_{n1}(r).
  • Resultado físico: ocupando-se simultaneamente os três orbitais p com um elétron cada (sem viés nas direções), as direções se “cancelam” na soma das densidades angulares e a distribuição resultante é isotrópica (esfericamente simétrica).

Resposta

A densidade eletrônica total é da forma
\rho(\mathbf{r})=\sum_{i\in\{p_x,p_y,p_z\}}|\psi_i(\mathbf{r})|^2 =|R_{n1}(r)|^2\Big(|Y_{1,-1}|^2+|Y_{1,0}|^2+|Y_{1,1}|^2\Big) =\frac{3}{4\pi}\,|R_{n1}(r)|^2,
que depende apenas de r. Portanto a distribuição dos elétrons é esfericamente simétrica.

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