Mostre que os dois números (z=1+i) e (z=1-i) satisfazem a equação (z^2-2 z+2=0).

Passo 1

Beleza, o enunciado manda mostrar que os complexos
z1 = 1 + i e z2 = 1 - i
são soluções da equação
z^2 - 2z + 2 = 0
Isso é um exercício de números complexos: a gente vai precisar saber como somar e multiplicar complexos, usar que e, basicamente, substituir cada na expressão e ver se dá zero.

Passo 2

Vamos com z1^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i .
  1. Primeiro calculamos
z1^2 - 2z1 + 2 = 2i - 2(1 + i) + 2
Aqui usei 2i - 2 - 2i + 2 .
2) Agora montamos a expressão da equação:
(2i - 2i) + (-2 + 2) = 0 + 0 = 0
Distribuindo o :
  1. Agrupando parte real e imaginária:
Então, para dá zero mesmo.

Passo 3

Agora com z2^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i .
  1. Calculemos
z2^2 - 2z2 + 2 = -2i - 2(1 - i) + 2 = -2i - 2 + 2i + 2
  1. Montamos
(-2i + 2i) + (-2 + 2) = 0 + 0 = 0
  1. Agrupando:
Também zera certinho.

Resposta

Os dois números e satisfazem a equação , pois ao substituir cada um na expressão o resultado é zero.

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