Seja i a unidade imaginária, onde i^2=-1. Calcule o que segue, sendo n um número inteiro e positivo:
i^6=

Passo 1

Beleza, o enunciado tá assim: “Dado que i é a unidade imaginária com i^2=-1, calcule i^6.”
Conteúdo: potência de números complexos (unidade imaginária) e ciclo de expoentes. A gente vai precisar lembrar que as potências de i se repetem de 4 em 4.

Passo 2

Vamos ver a teoria beeem passo a passo:
  • i^1 = i
  • i^2 = -1 (definição)
  • i^3 = i^2cdot i = -1cdot i = -,i
  • i^4 = i^2cdot i^2 = (-1)cdot(-1) = 1
    Pronto, a partir de i^4 as potências voltam ao começo, porque i^5 = i^4cdot i = 1cdot i = i e por aí vai. Isso é o ciclo de período 4.

Passo 3

Agora usamos esse ciclo pra simplificar i^6.
  1. Divide o expoente 6 por 4: 6 = 4cdot1 + 2.
  2. Então i^6 = i^4cdot1 + 2 = i^4cdot1cdot i^2 = (i^4)^1cdot i^2.
  3. Sabendo que i^4=1, fica 1cdot i^2 = i^2.

Resposta

i^6 = -1

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