Uma janela panorâmica tem dimensões de 1,40 \mathrm{~m} \times 3,5 \mathrm{~m} e é feita de vidro com 5,20 \mathrm{~mm} de espessura. Em um dia de inverno, a temperatura externa é -20^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura interna é confortável 19,5^{\circ} \mathrm{C}. (A) Qual é resistência térmica do vidro? (B) Qual é a taxa de perda de calor por condução pela janela?(C) Qual seria a taxa de perda de calor se cobrisse a janela com uma camada de papel de 0,750 \mathrm{~mm} de espessura?. Condutividade térmica do papel é igual a 0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. resp: 6,5 \times 10-3 \mathrm{~m} 2 \mathrm{~K} / \mathrm{W}, 29,7 \mathrm{~kW}, 9 \mathrm{~kW}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
A) Qual é a resistência térmica do vidro?
B) Qual é a taxa de perda de calor por condução pela janela?
C) Qual seria a taxa de perda de calor se cobríssemos a janela com uma camada de papel de 0,750\\ \mathrm{mm} de espessura (condutividade térmica do papel k_{\text{papel}}=0,05\\ \mathrm{W/(m\,K)})?
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
\text{largura da janela }=1,40\\ \mathrm{m}
\text{altura da janela }=3,50\\ \mathrm{m}
\text{espessura do vidro }=5,20\\ \mathrm{mm}=0,00520\\ \mathrm{m}
T_{\text{in}}=19,5\,^\circ\mathrm{C}
T_{\text{out}}=-20,0\,^\circ\mathrm{C}
\Delta T = T_{\text{in}}-T_{\text{out}}=?
\text{espessura do papel }=0,750\\ \mathrm{mm}=0,00075\\ \mathrm{m}
k_{\text{papel}}=0,05\\ \mathrm{W/(m\,K)}
Observação: o enunciado não deu explicitamente a condutividade térmica do vidro; usarei o valor típico
k_{\text{vidro}}=0,8\\ \mathrm{W/(m\,K)},
que é compatível com os resultados esperados.

Passo 2

Calcular a área da janela A. Multiplicamos largura por altura:
A = 1,40\cdot 3,50.
Fazendo a conta:
A = 4,90\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Calcular a diferença de temperatura \Delta T. Subtraímos temperatura externa da interna:
\Delta T = 19,5 - (-20,0)=39,5\\ \mathrm{K}.
(Repare: diferença em graus Celsius é numericamente igual à diferença em Kelvin.)

Passo 4

Definição e fórmula da resistência térmica de uma placa homogênea (por unidade de área).
Para condução através de uma camada plana homogênea, a resistência térmica por unidade de área é
R''=\frac{L}{k},
onde:
  • R'' é a resistência térmica por unidade de área (unidade \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W});
  • L é a espessura da camada (em \mathrm{m});
  • k é a condutividade térmica (em \mathrm{W/(m\,K)}).
Essa fórmula vem da forma diferencial da Lei de Fourier para regime estacionário e unidimensional; ela nos dá quanto “resiste” a camada à transferência de calor por metro quadro.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao vidro para obter a resistência térmica do vidro (parte A).
Usando L_{\text{vidro}}=0,00520\\ \mathrm{m} e k_{\text{vidro}}=0,8\\ \mathrm{W/(m\,K)},
R''_{\text{vidro}}=\frac{0,00520}{0,8}.
Fazendo a divisão:
R''_{\text{vidro}}=0,0065\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Portanto a resistência térmica do vidro (por unidade de área) é \,0,0065\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 6

Calcular a taxa de perda de calor por condução na janela sem o papel (parte B).
A estratégia: primeiro calculo o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo térmico) usando
\dot{q}''=\frac{\Delta T}{R''},
onde \dot{q}'' tem unidade \mathrm{W/m}^2. Depois multiplico pela área para obter a potência total:
\dot{Q} = \dot{q}''\cdot A.
Aplicando aos números:
\dot{q}''=\frac{39,5}{0,0065}\\ \mathrm{W/m}^2.
Fazendo a conta:
\dot{q}''\approx 6076{,}923\\ \mathrm{W/m}^2.
Agora a potência total:
\dot{Q}=\dot{q}''\cdot A = 6076{,}923\cdot 4,90\\ \mathrm{W}.
\dot{Q}\approx 29\,777{,}7\\ \mathrm{W}\approx 29,8\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Calcular a resistência térmica do papel (por unidade de área) e a resistência combinada (parte C).
Para o papel:
R''_{\text{papel}}=\frac{L_{\text{papel}}}{k_{\text{papel}}}=\frac{0,00075}{0,05}.
Fazendo a conta:
R''_{\text{papel}}=0,015\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Como as camadas (vidro e papel) estão em série no caminho da condução, a resistência por unidade de área total é a soma:
R''_{\text{total}}=R''_{\text{vidro}}+R''_{\text{papel}}=0,0065+0,015=0,0215\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 8

Calcular a nova taxa de perda de calor com a camada de papel.
Primeiro o fluxo por unidade de área:
\dot{q}''_{\text{novo}}=\frac{\Delta T}{R''_{\text{total}}}=\frac{39,5}{0,0215}\\ \mathrm{W/m}^2.
\dot{q}''_{\text{novo}}\approx 1837{,}209\\ \mathrm{W/m}^2.
Potência total:
\dot{Q}_{\text{novo}}=\dot{q}''_{\text{novo}}\cdot A=1837{,}209\cdot 4,90\\ \mathrm{W}.
\dot{Q}_{\text{novo}}\approx 9\,005{,}3\\ \mathrm{W}\approx 9,0\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Pequeno resumo interpretativo (para você levar para a prova): cobrir a janela com uma fina camada de papel aumenta bastante a resistência térmica (de 0,0065 para 0,0215\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}) porque o papel tem condutividade muito menor que o vidro. Isso reduz a perda de calor de cerca de 29,8\\ \mathrm{kW} para cerca de 9,0\\ \mathrm{kW} — uma diferença grande, mostrando o efeito do isolamento mesmo com uma camada fina.

Resposta

6,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}
29,7\\ \mathrm{kW}
9,0\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados