Um bloco de massa
é lançado para cima sobre um plano inclinado de ângulo
com velocidade inicial
. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é menor que
, de modo que, depois de parar ao final do movimento ascendente, o bloco voltará a descer ao longo do plano.
(a) Construa o gráfico de força total sobre o bloco em função da posição sobre o plano.
(b) Qual será a altura máxima atingida pelo bloco sobre o plano?
(c) Qual é a quantidade de energia mecânica perdida em energia térmica devido ao atrito durante o processo?
(d) Em que velocidade o bloco retornará ao ponto de partida?
(a) Construa o gráfico de força total sobre o bloco em função da posição sobre o plano.
(b) Qual será a altura máxima atingida pelo bloco sobre o plano?
(c) Qual é a quantidade de energia mecânica perdida em energia térmica devido ao atrito durante o processo?
(d) Em que velocidade o bloco retornará ao ponto de partida?
Passo 1
Dados do enunciado e perguntas (vou listar tudo certinho para não nos perder):
- Um bloco de massa
é lançado para cima ao longo de um plano inclinado com ângulo em relação à horizontal, com velocidade inicial . - Coeficiente de atrito cinético entre bloco e plano:
, com . Isso garante que, depois de parar, o bloco voltará a descer. - Pede-se:
(a) construir o gráfico da força total sobre o bloco em função da posição ao longo do plano;
(b) a altura máxima atingida pelo bloco sobre o plano;
(c) a quantidade de energia mecânica perdida em calor devido ao atrito durante o processo (subida + descida);
(d) a velocidade com que o bloco retornará ao ponto de partida.
Passo 2
Definimos um sistema de coordenadas e identificamos as forças (passo básico e importante antes de qualquer conta):
- Eixo
: ao longo do plano, orientado para cima do plano (ou seja, movimento para cima é ). - Forças atuantes:
- Peso:
com magnitude , que tem componente paralela ao plano apontando para baixo: . - Normal:
perpendicular ao plano. Equilíbrio normal dá . - Atrito cinético: força de módulo
, sempre apontando contrária ao sentido instantâneo do movimento.
Observação intuitiva: o termo“puxa” o bloco para baixo, o atrito sempre “puxa” para o lado oposto da velocidade.
- Peso:
Passo 3
Escrevemos a força total (resultante) ao longo do eixo
em cada trecho (isso responde diretamente ao que será o gráfico):
- Enquanto o bloco sobe (velocidade para cima, atrito aponta para baixo), a força total ao longo do eixo
é
Aqui o sinal negativo indica que a força resultante é dirigida para baixo do plano (no sentido negativo do nosso eixo).
- Enquanto o bloco desce (velocidade para baixo, atrito aponta para cima), a força total ao longo do eixo
é
Como
implica
, o segundo resultado também é negativo (força para baixo), mas de menor magnitude que o primeiro. No ponto de inversão de movimento a velocidade é zero; aí a direção do atrito muda, causando uma descontinuidade instantânea no valor da força total (salto entre os dois níveis).
Passo 4
Descrição do gráfico pedido em (a) (faça esse esboço mentalmente ou no papel):
- Eixo horizontal: posição
ao longo do plano (origem no ponto de lançamento, subindo). - Eixo vertical:
. - Para
(subida): gráfico é uma linha horizontal constante em . - No ponto
(ponto de inversão) ocorre uma mudança instantânea do sinal do atrito: há um salto vertical do valor para . - Para
durante a descida: linha horizontal constante em .
Resumo: duas regiões horizontais (constantes) com valores negativos, o da subida tendo maior magnitude, com um salto no ponto máximo.
Passo 5
Vamos calcular a distância máxima ao longo do plano (
) usando o teorema da energia (método prático para prova). Primeiro a ideia física: a energia cinética inicial é consumida fazendo trabalho contra a gravidade (subir) e contra a força de atrito. Escrevemos a conservação energia incluindo o trabalho não conservativo do atrito:
No topo da subida a velocidade é zero, então a energia final cinética ali é zero. Tomando referência de energia potencial na posição inicial como zero e considerando subida de deslocamento
ao longo do plano, a elevação potencial adquirida é
. O trabalho (negativo) da força de atrito na subida vale
.
Assim:
Assim:
Fatorando
:
Passo 6
Isolamos
(distância ao longo do plano até a parada):
Se quiser a altura vertical atingida (elevação em relação ao ponto inicial), basta multiplicar por
:
Passo 7
Agora (c): energia mecânica perdida em calor devido ao atrito durante todo o processo (subida + descida).
- Trabalho da força de atrito na subida:
. - Trabalho da força de atrito na descida: o atrito novamente faz trabalho negativo de mesmo módulo:
. - Trabalho total do atrito (energia transformada em calor) é a soma:
O módulo (quantidade de energia perdida) é
Substituindo
de Passo 6:
Passo 8
Finalmente (d): velocidade do bloco ao retornar ao ponto de partida. A energia cinética final no ponto inicial (após a descida) será a energia inicial menos a energia dissipada por atrito ao longo de toda a trajetória:
Substituindo o valor de
do passo anterior e cancelando
:
Colocando em forma única:
Como
(pela hipótese
), isso é positivo e então
Passo 9
Pequena checagem física e comentário de incentivo (rápido): as expressões fazem sentido — se
(sem atrito) temos
e
(recupera o caso conservativo). Se
aumenta,
diminui, a perda de energia aumenta e
diminui. Bora que você já tá dominando a lógica!
Resposta
(a)
(b)
\quad e \quad
.
(c)
.
(d)
.]