Um bloco de massa m é lançado para cima sobre um plano inclinado de ângulo \theta com velocidade inicial v_{0}. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é menor que \tan \theta, de modo que, depois de parar ao final do movimento ascendente, o bloco voltará a descer ao longo do plano.
(a) Construa o gráfico de força total sobre o bloco em função da posição sobre o plano.
(b) Qual será a altura máxima atingida pelo bloco sobre o plano?
(c) Qual é a quantidade de energia mecânica perdida em energia térmica devido ao atrito durante o processo?
(d) Em que velocidade o bloco retornará ao ponto de partida?

Passo 1

Dados do enunciado e perguntas (vou listar tudo certinho para não nos perder):
  • Um bloco de massa \,m é lançado para cima ao longo de um plano inclinado com ângulo \,\theta em relação à horizontal, com velocidade inicial \,v_{0}.
  • Coeficiente de atrito cinético entre bloco e plano: \,\mu, com \,\mu<\tan\theta. Isso garante que, depois de parar, o bloco voltará a descer.
  • Pede-se:
    (a) construir o gráfico da força total sobre o bloco em função da posição ao longo do plano;
    (b) a altura máxima atingida pelo bloco sobre o plano;
    (c) a quantidade de energia mecânica perdida em calor devido ao atrito durante o processo (subida + descida);
    (d) a velocidade com que o bloco retornará ao ponto de partida.

Passo 2

Definimos um sistema de coordenadas e identificamos as forças (passo básico e importante antes de qualquer conta):
  • Eixo x: ao longo do plano, orientado para cima do plano (ou seja, movimento para cima é v>0).
  • Forças atuantes:
    • Peso: \, \vec{P} com magnitude \,mg, que tem componente paralela ao plano apontando para baixo: \,mg\sin\theta.
    • Normal: \,N perpendicular ao plano. Equilíbrio normal dá \,N=mg\cos\theta.
    • Atrito cinético: força de módulo \,\mu N=\mu m g\cos\theta, sempre apontando contrária ao sentido instantâneo do movimento.
      Observação intuitiva: o termo \,mg\sin\theta “puxa” o bloco para baixo, o atrito sempre “puxa” para o lado oposto da velocidade.

Passo 3

Escrevemos a força total (resultante) ao longo do eixo x em cada trecho (isso responde diretamente ao que será o gráfico):
  • Enquanto o bloco sobe (velocidade para cima, atrito aponta para baixo), a força total ao longo do eixo x é
F_{\text{total, subida}} = -mg\sin\theta - \mu m g\cos\theta = -m g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr).
Aqui o sinal negativo indica que a força resultante é dirigida para baixo do plano (no sentido negativo do nosso eixo).
  • Enquanto o bloco desce (velocidade para baixo, atrito aponta para cima), a força total ao longo do eixo x é
F_{\text{total, descida}} = -mg\sin\theta + \mu m g\cos\theta = -m g\bigl(\sin\theta-\mu\cos\theta\bigr).
Como \,\mu<\tan\theta implica \,\sin\theta-\mu\cos\theta>0, o segundo resultado também é negativo (força para baixo), mas de menor magnitude que o primeiro. No ponto de inversão de movimento a velocidade é zero; aí a direção do atrito muda, causando uma descontinuidade instantânea no valor da força total (salto entre os dois níveis).

Passo 4

Descrição do gráfico pedido em (a) (faça esse esboço mentalmente ou no papel):
  • Eixo horizontal: posição x ao longo do plano (origem no ponto de lançamento, x>0 subindo).
  • Eixo vertical: F_{\text{total}}(x).
  • Para 0<x<x_{\max} (subida): gráfico é uma linha horizontal constante em \,F=-m g(\sin\theta+\mu\cos\theta).
  • No ponto x=x_{\max} (ponto de inversão) ocorre uma mudança instantânea do sinal do atrito: há um salto vertical do valor \,-m g(\sin\theta+\mu\cos\theta) para \,-m g(\sin\theta-\mu\cos\theta).
  • Para x_{\max}>x durante a descida: linha horizontal constante em \,F=-m g(\sin\theta-\mu\cos\theta).
    Resumo: duas regiões horizontais (constantes) com valores negativos, o da subida tendo maior magnitude, com um salto no ponto máximo.

Passo 5

Vamos calcular a distância máxima ao longo do plano ( s_{\max}) usando o teorema da energia (método prático para prova). Primeiro a ideia física: a energia cinética inicial é consumida fazendo trabalho contra a gravidade (subir) e contra a força de atrito. Escrevemos a conservação energia incluindo o trabalho não conservativo do atrito:
\text{Energia inicial} = \text{Energia final} + \text{trabalho do atrito}.
No topo da subida a velocidade é zero, então a energia final cinética ali é zero. Tomando referência de energia potencial na posição inicial como zero e considerando subida de deslocamento s ao longo do plano, a elevação potencial adquirida é m g s\sin\theta. O trabalho (negativo) da força de atrito na subida vale -\mu m g\cos\theta\;s.
Assim:
\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g s\sin\theta + \mu m g\cos\theta\; s.
Fatorando m g s:
\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g s\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr).

Passo 6

Isolamos s_{\max} (distância ao longo do plano até a parada):
s_{\max} = \frac{\dfrac{1}{2} m v_{0}^{2}}{m g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)} = \frac{v_{0}^{2}}{2g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)}.
Se quiser a altura vertical atingida (elevação em relação ao ponto inicial), basta multiplicar por \sin\theta:
h_{\max} = s_{\max}\sin\theta = \frac{v_{0}^{2}\sin\theta}{2g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)}.

Passo 7

Agora (c): energia mecânica perdida em calor devido ao atrito durante todo o processo (subida + descida).
  • Trabalho da força de atrito na subida: W_{\text{at, subida}}=-\mu m g\cos\theta\;s_{\max}.
  • Trabalho da força de atrito na descida: o atrito novamente faz trabalho negativo de mesmo módulo: W_{\text{at, descida}}=-\mu m g\cos\theta\;s_{\max}.
  • Trabalho total do atrito (energia transformada em calor) é a soma:
\Delta E_{\text{calor}} = -2\mu m g\cos\theta\;s_{\max}.
O módulo (quantidade de energia perdida) é
|\Delta E_{\text{calor}}| = 2\mu m g\cos\theta\;s_{\max}.
Substituindo s_{\max} de Passo 6:
|\Delta E_{\text{calor}}| = 2\mu m g\cos\theta \cdot \frac{v_{0}^{2}}{2g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)} = \frac{\mu m v_{0}^{2}\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}.

Passo 8

Finalmente (d): velocidade do bloco ao retornar ao ponto de partida. A energia cinética final no ponto inicial (após a descida) será a energia inicial menos a energia dissipada por atrito ao longo de toda a trajetória:
\frac{1}{2}m v_{\text{final}}^{2} = \frac{1}{2}m v_{0}^{2} - |\Delta E_{\text{calor}}|.
Substituindo o valor de |\Delta E_{\text{calor}}| do passo anterior e cancelando m:
\frac{1}{2}v_{\text{final}}^{2} = \frac{1}{2}v_{0}^{2} - \frac{\mu v_{0}^{2}\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}.
Colocando em forma única:
v_{\text{final}}^{2} = v_{0}^{2}\,\frac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}.
Como \sin\theta-\mu\cos\theta>0 (pela hipótese \mu<\tan\theta), isso é positivo e então
v_{\text{final}} = v_{0}\sqrt{\frac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}}.

Passo 9

Pequena checagem física e comentário de incentivo (rápido): as expressões fazem sentido — se \mu=0 (sem atrito) temos s_{\max}=v_0^2/(2g\sin\theta) e v_{\text{final}}=v_0 (recupera o caso conservativo). Se \mu aumenta, s_{\max} diminui, a perda de energia aumenta e v_{\text{final}} diminui. Bora que você já tá dominando a lógica!

Resposta

(a) F_{\text{total}}(x)=\begin{cases} -m g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr), & \text{durante a subida }(0<x<x_{\max}),\\[6pt] -m g\bigl(\sin\theta-\mu\cos\theta\bigr), & \text{durante a descida }(x>x_{\max}). \end{cases}
(b) s_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)} \quad e \quad h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}\sin\theta}{2g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)}.
(c) |\Delta E_{\text{calor}}|=\dfrac{\mu m v_{0}^{2}\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}.
(d) v_{\text{final}}=v_{0}\sqrt{\dfrac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}}.]

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