Determine a solução geral da EDO x+y+x log x d yd x=0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) $ x + y + x \log x \frac{dy}{dx} = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de Equações Lineares de Primeira Ordem e a técnica do Fator Integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a EDO no formato padrão das equações lineares, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Vamos reorganizar a nossa equação:
x log x dydx + y + x = 0
Dividindo todos os termos por $ x \log x $:
x log x
Agora, identificamos $ P(x) = \frac{1}{\log x} $ e $ Q(x) = -\frac{1}{\log x} $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o Fator Integrante ($ \mu(x) $), que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Vamos resolver a integral no expoente. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja $ u = \log x $, então $ du = \frac{1}{x} dx $, ou seja, $ dx = x du = e^{u} du $ (já que $ x = e^{u} $).
Substituindo na integral:
u = log x
Essa integral é conhecida como a Função Integral Exponencial ($ Ei(u) $).

Passo 5

Portanto, o fator integrante fica:
mu(x) = e^Ei(log x)

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial original pelo fator integrante:
mu(x) dydx + mu(x) P(x) y = mu(x) Q(x)
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y

Passo 7

Integrando ambos os lados:
mu(x) y = integral mu(x) Q(x) dx + C
Substituindo $ \mu(x) $ e $ Q(x) $:
mu(x)

Passo 8

A integral resultante envolve a Função Integral Exponencial, o que significa que a solução não pode ser expressa em termos de funções elementares simples. Portanto, a solução geral é:
y = e^-Ei(log x) ( C - integral e^Ei(log x)log x dx )

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = e^-Ei(log x) ( C - integral e^Ei(log x)log x dx )
Onde $ C $ é a constante de integração e $ Ei $ representa a Função Integral Exponencial.

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