Determine a solução geral da EDO
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) $ x + y + x \log x \frac{dy}{dx} = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de Equações Lineares de Primeira Ordem e a técnica do Fator Integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a EDO no formato padrão das equações lineares, que é:
Vamos reorganizar a nossa equação:
Dividindo todos os termos por $ x \log x $:
Agora, identificamos $ P(x) = \frac{1}{\log x} $ e $ Q(x) = -\frac{1}{\log x} $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o Fator Integrante ($ \mu(x) $), que é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Passo 4
Vamos resolver a integral no expoente. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja $ u = \log x $, então $ du = \frac{1}{x} dx $, ou seja, $ dx = x du = e^{u} du $ (já que $ x = e^{u} $).
Substituindo na integral:
Essa integral é conhecida como a Função Integral Exponencial ($ Ei(u) $).
Passo 5
Portanto, o fator integrante fica:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Substituindo $ \mu(x) $ e $ Q(x) $:
Passo 8
A integral resultante envolve a Função Integral Exponencial, o que significa que a solução não pode ser expressa em termos de funções elementares simples. Portanto, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C $ é a constante de integração e $ Ei $ representa a Função Integral Exponencial.