Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que não existe solução real em nenhum intervalo. Ou seja: supondo que
é uma função real suficientemente diferenciável definida num intervalo e que satisfaz a equação em todo ponto desse intervalo, devemos concluir que não há solução real não-trivial (explicar o que sobra como solução possível).
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é uma relação ponto a ponto entre
e . - Ambas as potências são pares:
e , portanto são números reais não-negativos para qualquer valor real de e .
Passo 2
Vamos lembrar um fato simples e fundamental sobre números reais e potências pares: para qualquer número real
vale
e, mais geralmente,
para inteiro
. Além disso, se uma soma de termos não-negativos é igual a zero então cada termo dessa soma é zero. Explico isso de forma direta.
Se
e
e
, então
e
. Porque se, por absurdo,
, então
já que
, contradizendo
. Portanto ambos devem ser zero.
Passo 3
Aplicando o fato do passo anterior à equação dada, para cada ponto
do intervalo onde a equação é satisfeita temos dois termos não-negativos cujo somatório é zero:
Pelo argumento do passo 2 concluímos que, ponto a ponto,
Passo 4
Interpretando
: para um número real
, se
então
. Uma forma curta de ver isso é notar que
implica
, logo
. Aplicando isso para cada
obtemos
Portanto
é a função nula identicamente no intervalo.
Passo 5
Da outra igualdade ponto a ponto,
, segue diretamente que
Isto é consistente com
, pois a derivada terceira da função zero é zero.
Passo 6
Concluímos que a única função real suficientemente diferenciável que satisfaz a equação em todo um intervalo é a função identicamente zero. Não existe solução real não-trivial (isto é, nenhuma função real diferente de zero em algum ponto do intervalo pode satisfazer a equação em todo o intervalo), porque em qualquer ponto onde
teríamos
, impossibilitando a soma ser zero.
Resposta
A única solução real em qualquer intervalo é
.