Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+y^{8}=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y^{\prime\prime\prime}\right)^{2}+y^{8}=0
e pede para mostrar que não existe solução real em nenhum intervalo. Ou seja: supondo que y é uma função real suficientemente diferenciável definida num intervalo e que satisfaz a equação em todo ponto desse intervalo, devemos concluir que não há solução real não-trivial (explicar o que sobra como solução possível).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma relação ponto a ponto entre \left(y^{\prime\prime\prime}(x)\right)^{2} e y(x)^{8}.
  • Ambas as potências são pares: \left(y^{\prime\prime\prime}\right)^{2} e y^{8}, portanto são números reais não-negativos para qualquer valor real de y e y^{\prime\prime\prime}.

Passo 2

Vamos lembrar um fato simples e fundamental sobre números reais e potências pares: para qualquer número real a vale \;a^{2}\ge 0\; e, mais geralmente, \;a^{2k}\ge 0 para inteiro k\ge1. Além disso, se uma soma de termos não-negativos é igual a zero então cada termo dessa soma é zero. Explico isso de forma direta.
Se u\ge0 e v\ge0 e u+v=0, então u=0 e v=0. Porque se, por absurdo, u>0, então u+v>0 já que v\ge0, contradizendo u+v=0. Portanto ambos devem ser zero.

Passo 3

Aplicando o fato do passo anterior à equação dada, para cada ponto x do intervalo onde a equação é satisfeita temos dois termos não-negativos cujo somatório é zero:
\left(y^{\prime\prime\prime}(x)\right)^{2}\ge0,\qquad y(x)^{8}\ge0,\qquad \left(y^{\prime\prime\prime}(x)\right)^{2}+y(x)^{8}=0.
Pelo argumento do passo 2 concluímos que, ponto a ponto,
\left(y^{\prime\prime\prime}(x)\right)^{2}=0 \qquad\text{e}\qquad y(x)^{8}=0.

Passo 4

Interpretando y(x)^{8}=0: para um número real a, se a^{8}=0 então a=0. Uma forma curta de ver isso é notar que |a|^{8}=0 implica |a|=0, logo a=0. Aplicando isso para cada x obtemos
y(x)=0\quad\text{para todo }x\text{ no intervalo.}
Portanto y é a função nula identicamente no intervalo.

Passo 5

Da outra igualdade ponto a ponto, \left(y^{\prime\prime\prime}(x)\right)^{2}=0, segue diretamente que
y^{\prime\prime\prime}(x)=0\quad\text{para todo }x\text{ no intervalo.}
Isto é consistente com y\equiv0, pois a derivada terceira da função zero é zero.

Passo 6

Concluímos que a única função real suficientemente diferenciável que satisfaz a equação em todo um intervalo é a função identicamente zero. Não existe solução real não-trivial (isto é, nenhuma função real diferente de zero em algum ponto do intervalo pode satisfazer a equação em todo o intervalo), porque em qualquer ponto onde y(x)\neq0 teríamos y(x)^{8}>0, impossibilitando a soma ser zero.

Resposta

A única solução real em qualquer intervalo é y\equiv 0.

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