Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
\left(y^{\prime \prime}\right)^{4}+10=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y''\right)^{4}+10=0.
A tarefa é mostrar que essa equação não admite solução real em nenhum intervalo. Informações relevantes que o enunciado fornece: a equação envolve a segunda derivada y'' elevada à quarta potência e uma constante 10. O que se pede é provar que não existe função y real, duas vezes derivável em um intervalo, que satisfaça essa igualdade em todo ponto desse intervalo.

Passo 2

O que significa “ser solução real em um intervalo”? Significa que existe uma função y:I\to\mathbb{R}, definida em algum intervalo aberto I\subset\mathbb{R}, que é duas vezes derivável em I e tal que, para todo x\in I,
\left(y''(x)\right)^{4}+10=0.
Logo, se houver solução real, a expressão \left(y''(x)\right)^{4} deve ser bem definida e real para todo x\in I.

Passo 3

Vamos revisar uma propriedade elementar dos números reais que usamos aqui: para qualquer número real r vale
r^{4}=(r^{2})^{2}\ge 0,
isto é, a quarta potência de um número real é sempre não negativa. A igualdade r^{4}=0 ocorre apenas quando r=0. Esse fato decorre do fato de que o quadrado de um número real é não negativo, e elevar ao quadrado novamente mantém a não negatividade.

Passo 4

Aplique a propriedade ao caso r=y''(x). Para todo x\in I temos \left(y''(x)\right)^{4}\ge 0. Portanto, a soma
\left(y''(x)\right)^{4}+10
é no mínimo 0+10=10, isto é, é positiva para todo x. Em símbolos,
\left(y''(x)\right)^{4}+10\ge 10>0 \quad\text{para todo }x\in I.
Mas a equação pede que essa soma seja igual a -10 (pois rearranjando a equação original obtemos \left(y''\right)^{4}=-10), ou melhor, que seja igual a 0 quando escrita como dada. Há uma contradição evidente: a expressão à esquerda é sempre maior que zero, enquanto a igualdade exigiria um valor negativo (mais precisamente, exigiria que \left(y''\right)^{4}=-10, que é impossível para um número real).

Passo 5

Concluímos que não existe função real y, duas vezes derivável em qualquer intervalo I, que satisfaça \left(y''\right)^{4}+10=0 em I. Em outras palavras, a equação não admite solução real em nenhum intervalo. (Observação: se permitíssemos soluções complexas, aí sim poderíamos procurar y'' complexos com quarta potência -10, mas o enunciado pede especificamente soluções reais.)

Resposta

Não existe solução real; a equação não admite solução real em nenhum intervalo.

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