Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
A tarefa é mostrar que essa equação não admite solução real em nenhum intervalo. Informações relevantes que o enunciado fornece: a equação envolve a segunda derivada
elevada à quarta potência e uma constante
. O que se pede é provar que não existe função
real, duas vezes derivável em um intervalo, que satisfaça essa igualdade em todo ponto desse intervalo.
Passo 2
O que significa “ser solução real em um intervalo”? Significa que existe uma função
, definida em algum intervalo aberto
, que é duas vezes derivável em
e tal que, para todo
,
Logo, se houver solução real, a expressão
deve ser bem definida e real para todo
.
Passo 3
Vamos revisar uma propriedade elementar dos números reais que usamos aqui: para qualquer número real
vale
isto é, a quarta potência de um número real é sempre não negativa. A igualdade
ocorre apenas quando
. Esse fato decorre do fato de que o quadrado de um número real é não negativo, e elevar ao quadrado novamente mantém a não negatividade.
Passo 4
Aplique a propriedade ao caso
. Para todo
temos
. Portanto, a soma
é no mínimo
, isto é, é positiva para todo
. Em símbolos,
Mas a equação pede que essa soma seja igual a
(pois rearranjando a equação original obtemos
), ou melhor, que seja igual a
quando escrita como dada. Há uma contradição evidente: a expressão à esquerda é sempre maior que zero, enquanto a igualdade exigiria um valor negativo (mais precisamente, exigiria que
, que é impossível para um número real).
Passo 5
Concluímos que não existe função real
, duas vezes derivável em qualquer intervalo
, que satisfaça
em
. Em outras palavras, a equação não admite solução real em nenhum intervalo. (Observação: se permitíssemos soluções complexas, aí sim poderíamos procurar
complexos com quarta potência
, mas o enunciado pede especificamente soluções reais.)
Resposta
Não existe solução real; a equação não admite solução real em nenhum intervalo.