Mostre que a EDO y^{\prime}=5 x possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' = 5x
e pede para mostrar que ela possui infinitas soluções. Informações relevantes que já temos:
  • A equação é de primeira ordem e está escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=5x.
  • Não foi fornecida nenhuma condição inicial (ou seja, nenhum valor de y para um x específico).
  • A função do lado direito, 5x, é uma função de x bem comportada (contínua em todo \mathbb{R}).

Passo 2

Interpretação e ideia de resolução (sem usar palavras técnicas complicadas): a equação diz que a derivada de y em relação a x é 5x. Para encontrar y basta “integrar” essa informação, isto é, achar uma função cuja derivada seja 5x. Agora uma rápida explicação do que é integrar aqui:
  • Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função g(x) é qualquer função G(x) tal que G'(x)=g(x).
  • Quando tomamos uma primitiva, aparece sempre uma constante arbitrária C, porque derivada de uma constante é zero e portanto não aparece ao derivar.
    Vamos aplicar isso.

Passo 3

Transformação formal e cálculo da primitiva. Escrevemos a equação como
\frac{dy}{dx}=5x.
Multiplicando ambos os lados por dx (interpretação formal que permite integrar) obtemos
dy = 5x\,dx.
Agora integramos ambos os lados em relação a x (ou melhor, integramos o lado esquerdo em y e o direito em x; neste contexto padrão usamos integração em x):
\int dy = \int 5x\,dx.
O lado esquerdo dá simplesmente y (mais constante), e o lado direito calculamos passo a passo:
\int 5x\,dx = 5\int x\,dx = 5\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2.
Não esqueça da constante de integração: assim a primitiva geral é
y = \frac{5}{2}x^2 + C,
onde C é uma constante arbitrária (qualquer número real).

Passo 4

Verificação de que as funções obtidas realmente são soluções. Vamos derivar a solução geral para checar:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{5}{2}x^2 + C\right) = \frac{5}{2}\cdot 2x + 0 = 5x,
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto, toda função da forma \dfrac{5}{2}x^2 + C satisfaz a EDO.

Passo 5

Por que isso mostra que existem infinitas soluções? A constante C que apareceu na integração é arbitrária e pode ser qualquer número real. Para cada escolha diferente de C obtemos uma solução diferente. Como o conjunto dos números reais \mathbb{R} é infinito (na verdade, incontável), obtemos infinitas soluções. Exemplos concretos:
  • Para C=0 temos y=\dfrac{5}{2}x^2.
  • Para C=1 temos y=\dfrac{5}{2}x^2+1.
  • Para C=-3 temos y=\dfrac{5}{2}x^2-3.
    Cada uma dessas funções é diferente e todas satisfazem a EDO.

Passo 6

Comentário final útil para prova (empático e prático): se o problema trouxesse uma condição inicial, por exemplo y(x_0)=y_0, aí sim essa condição determinaria C por
C = y_0 - \frac{5}{2}x_0^2,
e então haveria exatamente uma solução que atende àquela condição inicial. Sem condição inicial, a família com parâmetro C dá infinitas soluções.

Resposta

y=\frac{5}{2}x^2 + C,\quad C\in\mathbb{R}

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