Mostre que a EDO
possui infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para mostrar que ela possui infinitas soluções. Informações relevantes que já temos:
- A equação é de primeira ordem e está escrita na forma
. - Não foi fornecida nenhuma condição inicial (ou seja, nenhum valor de
para um específico). - A função do lado direito,
, é uma função de bem comportada (contínua em todo ).
Passo 2
Interpretação e ideia de resolução (sem usar palavras técnicas complicadas): a equação diz que a derivada de
em relação a
é
. Para encontrar
basta “integrar” essa informação, isto é, achar uma função cuja derivada seja
. Agora uma rápida explicação do que é integrar aqui:
- Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função
é qualquer função tal que . - Quando tomamos uma primitiva, aparece sempre uma constante arbitrária
, porque derivada de uma constante é zero e portanto não aparece ao derivar.
Vamos aplicar isso.
Passo 3
Transformação formal e cálculo da primitiva. Escrevemos a equação como
Multiplicando ambos os lados por
(interpretação formal que permite integrar) obtemos
Agora integramos ambos os lados em relação a
(ou melhor, integramos o lado esquerdo em
e o direito em
; neste contexto padrão usamos integração em
):
O lado esquerdo dá simplesmente
(mais constante), e o lado direito calculamos passo a passo:
Não esqueça da constante de integração: assim a primitiva geral é
onde
é uma constante arbitrária (qualquer número real).
Passo 4
Verificação de que as funções obtidas realmente são soluções. Vamos derivar a solução geral para checar:
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto, toda função da forma
satisfaz a EDO.
Passo 5
Por que isso mostra que existem infinitas soluções? A constante
que apareceu na integração é arbitrária e pode ser qualquer número real. Para cada escolha diferente de
obtemos uma solução diferente. Como o conjunto dos números reais
é infinito (na verdade, incontável), obtemos infinitas soluções. Exemplos concretos:
- Para
temos . - Para
temos . - Para
temos .
Cada uma dessas funções é diferente e todas satisfazem a EDO.
Passo 6
Comentário final útil para prova (empático e prático): se o problema trouxesse uma condição inicial, por exemplo
, aí sim essa condição determinaria
por
e então haveria exatamente uma solução que atende àquela condição inicial. Sem condição inicial, a família com parâmetro
dá infinitas soluções.