Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Esfera (x+2)^2+y^2+(z-2)^2=1

Passo 1

O enunciado pede para achar uma representação paramétrica e um vetor normal da esfera de equação (x+2)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 1. O conteúdo envolve parametrização de superfícies (usar coordenadas esféricas) e encontrar um vetor normal (usar gradiente).
A esfera pode ser vista como o conjunto de pontos a distância R=1 do centro C=(-2,0,2). Ou seja, raio R=1 e centro C=(-2,0,2).

Passo 2

Para parametrizar, introduzimos os parâmetros phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. Usando coordenadas esféricas de raio 1 em torno de C, definimos
r(phi,theta)=l(x(phi,theta),;y(phi,theta),;z(phi,theta)r)=l(-2+sinphicostheta,;sinphisintheta,;2+cosphir)

Passo 3

Para obter um vetor normal genérico à superfície, consideramos a função F(x,y,z)=(x+2)^2+y^2+(z-2)^2-1. O gradiente de F é perpendicular à esfera.
Calculamos
nabla F(x,y,z)=l(2(x+2),;2y,;2(z-2)r)

Passo 4

Portanto, um vetor normal (vale qualquer múltiplo escalar) é
n(x,y,z)=(x+2,;y,;z-2)

Resposta

Uma parametrização é
r(phi,theta)=l(-2+sinphicostheta,;sinphisintheta,;2+cosphir), phiin[0,pi],;thetain[0,2pi]
Um vetor normal genérico à esfera é
n(x,y,z)=(x+2,;y,;z-2)

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