Mostre que a energia cinética de um sistema de partículas em relação a um referencial inercial S pode ser escrita como
T=T^{\prime}+\frac{1}{2} M V^{2}
onde T^{\prime} é a energia cinética do sistema em relação ao seu centro de massa, M é a massa total do sistema e V é a velocidade do centro de massa em relação a S .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a energia cinética total de um sistema de partículas medida num referencial inercial S pode ser escrita como
T = T^{\prime} + \tfrac{1}{2} M V^{2},
onde:
T é a energia cinética total do sistema em relação a S;
T^{\prime} é a energia cinética do mesmo sistema medida no referencial que se move com o centro de massa (ou seja, em relação ao centro de massa);
M é a massa total do sistema;
V é a velocidade do centro de massa em relação a S.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
O sistema tem partículas indexadas por i com massas m_i, posições \mathbf{r}_i e velocidades \mathbf{v}_i no referencial S.
O centro de massa tem posição \mathbf{R} e velocidade \mathbf{V} em S.
A relação a provar é uma identidade algébrica vectorial envolvendo somas sobre as partículas.
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo):
Massa total:
M = \sum_i m_i.
Isto é só somar as massas de todas as partículas. M é um número escalar.
Posição do centro de massa:
\mathbf{R} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{r}_i.
Significa que o centro de massa é a média ponderada das posições, ponderada pelas massas.
Velocidade do centro de massa: derivando \mathbf{R} em relação ao tempo (em um referencial inercial),
Comentário didático: fisicamente isso é óbvio — as velocidades relativas ponderadas pelas massas somam zero porque escolhemos exatamente \mathbf{V} para ser a média ponderada das velocidades; no referencial do centro de massa a soma das quantidades m_i\mathbf{v}_i' é nula.
Passo 6
Concluir a identidade.
Com o termo cruzado anulando, o resultado do Passo 4 fica
T = T' + \frac{1}{2} M V^2.
Isso é exatamente a expressão pedida: a energia cinética total no referencial inercial S se decomponhe em energia cinética relativa ao centro de massa T' (energia interna ou associada ao movimento das partículas em relação ao CM) mais a energia cinética macroscópica \tfrac{1}{2}MV^2 do centro de massa como se toda a massa M estivesse concentrada no CM movendo-se com velocidade \mathbf{V}.
Exemplo rápido para fixar (numérico, só para intuição):
Duas partículas com m_1=m_2=1 kg, \mathbf{v}_1=(3,0,0) m/s e \mathbf{v}_2=(3,0,0) m/s. Então \mathbf{V}=(3,0,0) m/s, T'=\tfrac{1}{2}(1\cdot 0 + 1\cdot 0)=0 e \tfrac{1}{2}MV^2=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3^2=9 J; assim T=9 J, que é consistente com somar as energias das partículas.
Se as mesmas massas têm \mathbf{v}_1=(3,0,0) e \mathbf{v}_2=(-1,0,0), então \mathbf{V}=(1,0,0) m/s, calcula-se T, T' e \tfrac{1}{2}MV^2 e verifica-se a identidade de forma análoga.