Mostre que a energia cinética de um sistema de partículas em relação a um referencial inercial S pode ser escrita como
T=T^{\prime}+\frac{1}{2} M V^{2}
onde T^{\prime} é a energia cinética do sistema em relação ao seu centro de massa, M é a massa total do sistema e V é a velocidade do centro de massa em relação a S .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a energia cinética total de um sistema de partículas medida num referencial inercial S pode ser escrita como
T = T^{\prime} + \tfrac{1}{2} M V^{2},
onde:
  • T é a energia cinética total do sistema em relação a S;
  • T^{\prime} é a energia cinética do mesmo sistema medida no referencial que se move com o centro de massa (ou seja, em relação ao centro de massa);
  • M é a massa total do sistema;
  • V é a velocidade do centro de massa em relação a S.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • O sistema tem partículas indexadas por i com massas m_i, posições \mathbf{r}_i e velocidades \mathbf{v}_i no referencial S.
  • O centro de massa tem posição \mathbf{R} e velocidade \mathbf{V} em S.
  • A relação a provar é uma identidade algébrica vectorial envolvendo somas sobre as partículas.

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Massa total:
M = \sum_i m_i.
Isto é só somar as massas de todas as partículas. M é um número escalar.
  • Posição do centro de massa:
\mathbf{R} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{r}_i.
Significa que o centro de massa é a média ponderada das posições, ponderada pelas massas.
  • Velocidade do centro de massa: derivando \mathbf{R} em relação ao tempo (em um referencial inercial),
\mathbf{V} = \dot{\mathbf{R}} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{v}_i.
Aqui \mathbf{v}_i=\dot{\mathbf{r}}_i é a velocidade da partícula i em S.
  • Velocidade relativa (velocidade de cada partícula medida no referencial do centro de massa):
\mathbf{v}_i' = \mathbf{v}_i - \mathbf{V}.
Isto define a velocidade da partícula i em relação ao centro de massa.
  • Energia cinética total no referencial S:
T = \frac{1}{2}\sum_i m_i \,\mathbf{v}_i\cdot\mathbf{v}_i.
Explicação: a energia cinética de uma partícula é \tfrac{1}{2}m v^2; em notação vectorial escrevemos v^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.
  • Energia cinética relativa ao centro de massa (energia interna/associada às velocidades relativas):
T' = \frac{1}{2}\sum_i m_i \,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{v}_i'.
Também vamos usar a identidade algébrica para vetores:
(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}+2\,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}.
Isto é análogo a (a+b)^2 em escalares, só que com produto escalar para vetores.

Passo 3

Expressar \mathbf{v}_i em função de \mathbf{v}_i' e \mathbf{V} e substituir em T.
Pelo item anterior temos \mathbf{v}_i = \mathbf{v}_i' + \mathbf{V}. Substituindo na definição de T,
T = \frac{1}{2}\sum_i m_i \,(\mathbf{v}_i'\!+\!\mathbf{V})\cdot(\mathbf{v}_i'\!+\!\mathbf{V}).
Agora aplicamos a identidade do produto escalar:
(\mathbf{v}_i'\!+\!\mathbf{V})\cdot(\mathbf{v}_i'\!+\!\mathbf{V}) = \mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{v}_i' + 2\,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{V} + \mathbf{V}\cdot\mathbf{V}.
Portanto
T = \frac{1}{2}\sum_i m_i \left(\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{v}_i' + 2\,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{V} + \mathbf{V}\cdot\mathbf{V}\right).

Passo 4

Separar as somas e identificar T' e os termos restantes.
Distribuindo a soma:
T = \underbrace{\frac{1}{2}\sum_i m_i \,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{v}_i'}_{T'} \;+\; \underbrace{\sum_i m_i \,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{V}}_{\text{termo cruzado}} \;+\; \underbrace{\frac{1}{2}\sum_i m_i \,\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}}_{\text{termo com }V^2}.
Reconhecemos o primeiro termo como T'. No terceiro termo, \mathbf{V}\cdot\mathbf{V}=V^2 é a mesma para todas as partículas, então
\frac{1}{2}\sum_i m_i \,\mathbf{V}\cdot\mathbf{V} = \frac{1}{2}\left(\sum_i m_i\right) V^2 = \frac{1}{2} M V^2.
Resta analisar o termo cruzado \sum_i m_i \,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{V}.

Passo 5

Mostrar que o termo cruzado se anula.
Observe que o termo cruzado é
\sum_i m_i \,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{V} = \left(\sum_i m_i \mathbf{v}_i'\right)\cdot\mathbf{V}.
Logo, se \sum_i m_i \mathbf{v}_i' = \mathbf{0}, o termo cruzado é zero. Vamos provar que isso é verdade.
Pelo que definimos antes,
\mathbf{v}_i' = \mathbf{v}_i - \mathbf{V}.
Multiplicando por m_i e somando sobre i,
\sum_i m_i \mathbf{v}_i' = \sum_i m_i \mathbf{v}_i - \sum_i m_i \mathbf{V}.
Mas \sum_i m_i \mathbf{V} = \mathbf{V}\sum_i m_i = \mathbf{V} M. E pela definição de \mathbf{V},
\mathbf{V} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{v}_i \quad\Rightarrow\quad \sum_i m_i \mathbf{v}_i = M\mathbf{V}.
Substituindo em \sum_i m_i \mathbf{v}_i' obtemos
\sum_i m_i \mathbf{v}_i' = M\mathbf{V} - M\mathbf{V} = \mathbf{0}.
Portanto o termo cruzado é zero:
\sum_i m_i \,\mathbf{v}_i'\cdot\mathbf{V} = \mathbf{0}\cdot\mathbf{V} = 0.
Comentário didático: fisicamente isso é óbvio — as velocidades relativas ponderadas pelas massas somam zero porque escolhemos exatamente \mathbf{V} para ser a média ponderada das velocidades; no referencial do centro de massa a soma das quantidades m_i\mathbf{v}_i' é nula.

Passo 6

Concluir a identidade.
Com o termo cruzado anulando, o resultado do Passo 4 fica
T = T' + \frac{1}{2} M V^2.
Isso é exatamente a expressão pedida: a energia cinética total no referencial inercial S se decomponhe em energia cinética relativa ao centro de massa T' (energia interna ou associada ao movimento das partículas em relação ao CM) mais a energia cinética macroscópica \tfrac{1}{2}MV^2 do centro de massa como se toda a massa M estivesse concentrada no CM movendo-se com velocidade \mathbf{V}.
Exemplo rápido para fixar (numérico, só para intuição):
  • Duas partículas com m_1=m_2=1 kg, \mathbf{v}_1=(3,0,0) m/s e \mathbf{v}_2=(3,0,0) m/s. Então \mathbf{V}=(3,0,0) m/s, T'=\tfrac{1}{2}(1\cdot 0 + 1\cdot 0)=0 e \tfrac{1}{2}MV^2=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3^2=9 J; assim T=9 J, que é consistente com somar as energias das partículas.
  • Se as mesmas massas têm \mathbf{v}_1=(3,0,0) e \mathbf{v}_2=(-1,0,0), então \mathbf{V}=(1,0,0) m/s, calcula-se T, T' e \tfrac{1}{2}MV^2 e verifica-se a identidade de forma análoga.

Resposta

T = T^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}

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