(2,0) Delta de Dirac.
Calcule as seguintes integrais:
\int_{-2}^{2}(2 x+3) \delta(3 x) d x \quad \int_{-\infty}^{a} \delta(x-b) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais envolvendo a delta de Dirac:
\int_{-2}^{2}(2 x+3)\,\delta(3 x)\,d x
e
\int_{-\infty}^{a}\delta(x-b)\,d x.
Informações dadas/observações úteis do enunciado:
  • Os limites da primeira integral são -2 e 2.
  • Os limites da segunda integral vão de -\infty até a, com a e b parâmetros reais (não especificados).
  • Não há figuras adicionais nem outra condição; portanto a e b são tratados como números reais arbitrários.

Passo 2

Vamos recordar duas propriedades fundamentais da delta de Dirac — eu explico como se usa na prova e o que cada símbolo significa.
  1. Propriedade de amostragem (sifting property):
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-x_0)\,dx = f(x_0),
onde f é uma função suficientemente regular (contínua no ponto x_0) e x_0 é o ponto onde a delta está centrada. O significado: a integral “pega” o valor de f no ponto x_0.
  1. Regra de escala para argumentos lineares:
    seja g(x)=a x com a\neq0. Então
\delta(a x)=\frac{1}{|a|}\,\delta(x).
Mais geral, se g tem raízes simples x_i tal que g(x_i)=0, existe a identidade (útil em provas)
\delta(g(x))=\sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|},
ou seja: a delta em uma função composta se transforma em somatório de deltas centradas nas raízes, cada uma “pesada” por 1/|g'(x_i)|.
Essas fórmulas são as ferramentas que vamos usar. Cada variável:
  • f(x): função multiplicando a delta no integrando;
  • x_0 ou x_i: pontos em que a delta está concentrada (raízes de g);
  • a ou g'(x_i): derivada de g no zero, que aparece no fator de escala.

Passo 3

Calculemos a primeira integral usando as propriedades acima.
A integral é
\int_{-2}^{2}(2 x+3)\,\delta(3 x)\,d x.
Identificamos g(x)=3x. A raiz de g é x=0 (porque 3\cdot 0=0). Aplicando a regra de escala/raízes:
\delta(3x)=\frac{1}{|3|}\,\delta(x)=\frac{1}{3}\,\delta(x).
Substituindo no integrando:
\int_{-2}^{2}(2 x+3)\,\delta(3 x)\,d x =\int_{-2}^{2}(2 x+3)\,\frac{1}{3}\,\delta(x)\,d x =\frac{1}{3}\int_{-2}^{2}(2 x+3)\,\delta(x)\,d x.
Agora aplicamos a propriedade de amostragem: \delta(x) está centrada em x_0=0, e 0 pertence ao intervalo de integração [-2,2]. Portanto
\int_{-2}^{2}(2 x+3)\,\delta(x)\,d x = (2\cdot 0 + 3)=3.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3},
\frac{1}{3}\cdot 3 = 1.
Logo a primeira integral vale 1. Intuição rápida: a delta \delta(3x) “puxa” o valor da função em x=0 e aparece o fator de escala 1/3.

Passo 4

Agora a segunda integral:
\int_{-\infty}^{a}\delta(x-b)\,d x.
Use a propriedade de amostragem em integração sobre um intervalo: a integral de [\delta(x-b)) sobre um intervalo I é 1 se b\in I (o ponto onde a delta está fica dentro do intervalo), e 0 se b\notin I. Aplicando isso ao intervalo (-\infty,a]:
  • Se \,b<a\,, então o ponto b está estritamente dentro do intervalo (-\infty,a], logo a integral é 1.
  • Se \,b>a\,, o ponto b está fora do intervalo, logo a integral é 0.
E se \,b=a\, (o ponto b coincide com o limite superior)? Aqui há uma sutileza: a integral que envolve a delta exatamente no limite depende da convenção adotada para o valor da função degrau (Heaviside) no ponto da descontinuidade. Dois modos comuns:
  • Convenção prática (distribucional): muitas vezes define-se
\int_{-\infty}^{a}\delta(x-b)\,d x = \begin{cases}0,& b>a,\\[4pt]1,& b<a,\\[4pt]\dfrac{1}{2},& b=a,\end{cases}
adotando a definição \mathrm{H}(0)=\tfrac{1}{2}\] para a função degrau \(\mathrm{H}. Essa escolha aparece se se aproxima a delta por sequências simétricas em torno de b (por exemplo uma gaussiana centrada em b e integrando até o ponto médio dá 1/2).
  • Alternativa: algumas aplicações/exercícios definem que o ponto de massa pertence ao intervalo fechado, dando valor 1 quando b=a. Por isso, em provas é bom verificar a convenção do professor.
Uma forma compacta e comum de escrever o resultado é usando a função degrau:
\int_{-\infty}^{a}\delta(x-b)\,d x = \mathrm{H}(a-b),
onde \mathrm{H}(z) é a função degrau comumente tomada com \mathrm{H}(z)=0 para z<0, \mathrm{H}(z)=1 para z>0 e \mathrm{H}(0)=\tfrac{1}{2} por convenção simétrica (se desejar outra convenção, substitua \mathrm{H}(0) pelo valor indicado).]

Passo 5

Resumo do raciocínio para a prova:
  • Para \delta(3x) usei a regra \delta(a x)=\tfrac{1}{|a|}\delta(x), depois a propriedade de amostragem para avaliar em x=0.
  • Para \delta(x-b) reconheci que a integral sobre (-\infty,a] é a função degrau H(a-b), com a ressalva do caso b=a depender da convenção (comum: 1/2).

Resposta

\displaystyle \int_{-2}^{2}(2 x+3)\,\delta(3 x)\,d x = 1\)\n\(\displaystyle \int_{-\infty}^{a}\delta(x-b)\,d x = \begin{cases}0,& b>a,\\[4pt]1,& b<a,\\[4pt]\text{convenção comum: }1/2,& b=a.\end{cases}]

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