Uma corrente pulsada tem um valor constante de 15 A durante 0,1 \mathrm{~s} e é nula durante 0,9 \mathrm{~s} em cada segundo. (a) Qual o valor rms desta corrente? (b) Os pulsos de corrente são gerados por pulsos de tensão com um valor máximo de 100 V . Qual é a potência média fornecida pelo gerador de pulsos?

Passo 1

O enunciado dá uma corrente pulsada com valor constante de 15\,\mathrm{A} durante 0,1\\ \mathrm{s} e igual a zero durante 0,9\\ \mathrm{s}, repetindo isso a cada 1\\ \mathrm{s}. As perguntas são: (a) qual o valor rms dessa corrente? (b) sabendo que os pulsos de corrente são gerados por pulsos de tensão com valor máximo 100\\ \mathrm{V}, qual é a potência média fornecida pelo gerador de pulsos?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Valor do pulso de corrente: } I_{\text{on}} = 15\\ \mathrm{A},\\\ &\text{Tempo ligado por período: } t_{\text{on}} = 0,1\\ \mathrm{s},\\\ &\text{Tempo desligado por período: } t_{\text{off}} = 0,9\\ \mathrm{s},\\\ &\text{Período total: } T = 1,0\\ \mathrm{s},\\\ &\text{Valor máximo da tensão durante o pulso: } V_{\text{on}} = 100\\ \mathrm{V}. \end{aligned}íííáã

Passo 2

Definimos a razão cíclica (duty cycle) D como a fração do período em que a corrente está em I_{\text{on}}. Isso facilita muito os cálculos para sinais periódicos que são constantes em intervalos:
D = \frac{t_{\text{on}}}{T}.
Com os números do enunciado:
D = \frac{0,1}{1,0} = 0,1.

Passo 3

Vamos lembrar a definição do valor eficaz (rms) de uma corrente periódica i(t). O rms é a raiz quadrada da média temporal do quadrado da corrente ao longo de um período:
I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i^2(t)\,dt}.
Aqui i(t) é a corrente instantânea, T é o período. Para um pulso retangular que vale I_{\text{on}} durante t_{\text{on}} e 0 no restante do período, a integral simplifica porque i^2(t)=I_{\text{on}}^2 quando ligado e 0 quando desligado. Assim:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i^2(t)\,dt = \frac{1}{T}\left(I_{\text{on}}^2 \cdot t_{\text{on}} + 0\right) = I_{\text{on}}^2 \cdot \frac{t_{\text{on}}}{T} = I_{\text{on}}^2 \cdot D.
Portanto a fórmula prática para esse caso é
I_{\text{rms}} = I_{\text{on}} \sqrt{D}.
Explico: \sqrt{D} aparece porque rms envolve raiz quadrada da média do quadrado; para pulsos retangulares a média do quadrado é simplesmente I_{\text{on}}^2 vezes a fração do tempo em que o pulso existe.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os valores conhecidos. Substituindo I_{\text{on}}=15\\ \mathrm{A} e D=0,1:
I_{\text{rms}} = 15\sqrt{0,1}.
Calculemos passo a passo: \sqrt{0,1}=\sqrt{\tfrac{1}{10}}=\tfrac{1}{\sqrt{10}}. Numericamente \sqrt{0,1}\approx 0,31622777. Multiplicando:
I_{\text{rms}} \approx 15 \times 0,31622777 \approx 4,7434166\\ \mathrm{A}.
(Arredondaremos na resposta final.)

Passo 5

Breve interpretação didática: o valor rms é menor que o valor do pulso porque o pulso fica desligado a maior parte do tempo. O rms mede o efeito “térmico” médio da corrente (o que importa para potência dissipada em resistor), e por isso conta a fração de tempo em que a corrente está presente.

Passo 6

Agora a potência média fornecida pelo gerador. A potência instantânea fornecida ao circuito é p(t)=v(t)\,i(t). A potência média sobre um período é
P_{\text{média}} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,i(t)\,dt.é
No nosso caso o gerador fornece pulsos de tensão de V_{\text{on}}=100\\ \mathrm{V} exatamente nos mesmos instantes em que a corrente vale I_{\text{on}}=15\\ \mathrm{A}, e fora desse intervalo v(t)=0 ou i(t)=0. Assim durante o intervalo ligado a potência instantânea é constante:
p_{\text{on}} = V_{\text{on}}\cdot I_{\text{on}} = 100 \times 15 = 1500\\ \mathrm{W}.
Quando estiver desligado, a potência é zero.

Passo 7

Como a potência instantânea é 1500\\ \mathrm{W} durante uma fração D=0,1 do período e 0 no restante, a potência média é simplesmente:
P_{\text{média}} = p_{\text{on}}\cdot D = 1500 \times 0,1 = 150\\ \mathrm{W}.é
Este é um método direto e intuitivo (média temporal de um valor constante sobre parte do período).

Passo 8

Como verificação (útil para a prova): podemos obter a mesma potência média usando os valores rms quando v(t) e i(t) estão perfeitamente correlacionados (ou seja, ambos são pulsos coincidentes e positivamente alinhados). Primeiro calculemos V_{\text{rms}} análogo a corrente:
V_{\text{rms}} = V_{\text{on}}\sqrt{D} = 100\sqrt{0,1}.
Então o produto V_{\text{rms}}I_{\text{rms}} é
V_{\text{rms}}I_{\text{rms}} = \bigl(V_{\text{on}}\sqrt{D}\bigr)\bigl(I_{\text{on}}\sqrt{D}\bigr) = V_{\text{on}}I_{\text{on}}D = 100 \times 15 \times 0,1 = 150\\ \mathrm{W},
o mesmo resultado. Essa coincidência é porque v(t) e i(t) são perfeitamente proporcionais no tempo (produto instantâneo sempre positivo e não há defasagem), então o produto de rms dá a potência média.

Resposta

(a) I_{\text{rms}} \approx 4,74\\ \mathrm{A}
(b) P_{\text{média}} = 150\\ \mathrm{W}é

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