(1,0) Mostre que:
(a) Se a>1 então a^{n}>n para todo n \in \mathbb{N}.
(b) Sejam a e b dois números naturais com a>1. Então, existe um número natural n tal que a^{n}>b.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações para provar. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede (vou assumir que a e b são números naturais quando necessário, porque a afirmação é falsa para a real com 1<a<2).
  • Dados:
    • Para (a): a é um número natural com a>1. Precisamos mostrar que a^{n}>n para todo n\in\mathbb{N}.
    • Para (b): a e b são números naturais com a>1. Precisamos mostrar que existe n\in\mathbb{N} tal que a^{n}>b.
  • Pedidos:
    • (a) Provar que \forall n\in\mathbb{N}:\\ a^{n}>n.
    • (b) Provar que \exists n\in\mathbb{N}:\\ a^{n}>b.

Passo 2

Vou explicar a ferramenta principal que vou usar: o princípio da indução matemática (é uma técnica padrão para provar afirmações que valem para todo n\in\mathbb{N}).
  • Princípio da indução (forma básica): para provar que uma propriedade P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}, faz-se:
    1. Base: prova-se P(1) (ou P(0) dependendo da convenção).
    2. Passo indutivo: assume-se que P(k) é verdadeira para um k\ge 1 (hipótese de indução) e a partir disso prova-se que P(k+1) também é verdadeira.
      Se esses dois itens são verificados, então P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.
Vou aplicar essa técnica à parte (a).

Passo 3

Base da indução para (a).
  • Propriedade que queremos: P(n)\colon a^{n}>n.
  • Verificar P(1): como a é natural e a>1, temos \,a\ge 2. Então a^{1}=a\ge 2>1,logo a^{1}>1. Assim P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução e objetivo do passo indutivo para (a).
  • Hipótese de indução: suponha que existe um k\in\mathbb{N} com k\ge 1 tal que a^{k}>k.
  • Objetivo: mostrar que então a^{k+1}>k+1.
Vou desenvolver a desigualdade passo a passo, explicando cada passo com cuidado.

Passo 5

Desenvolvendo o passo indutivo (parte central da prova).
  • Começo com a^{k+1} e uso a hipótese a^{k}>k: a^{k+1}=a\cdot a^{k}>a\cdot k,porque multiplicar uma desigualdade estrita por a>0 preserva a desigualdade.
  • Como a é natural e a>1, temos a\ge 2. Então a\cdot k \ge 2k.Portanto a^{k+1} > a\cdot k \ge 2k.
  • Agora comparo 2k com k+1. Para k\ge 1 vale 2k-(k+1)=k-1\ge 0,logo 2k\ge k+1. Combinando tudo: a^{k+1} > 2k \ge k+1.Assim obtivemos a^{k+1}>k+1, que era o que precisávamos.

Passo 6

Conclusão da prova por indução para (a).
  • Fizemos a base ( P(1) verdadeira) e o passo indutivo (mostramos que P(k)\Rightarrow P(k+1)). Pelo princípio da indução, a propriedade P(n)\colon a^{n}>n vale para todo n\in\mathbb{N}.
  • Portanto (a) está provado sob a hipótese a\in\mathbb{N} e a>1 (ou seja, a\ge 2).

Passo 7

Prova de (b) usando o resultado de (a).
  • Como em (b) também a\in\mathbb{N} e a>1, podemos aplicar (a). Tomando n=b (lembre que b\in\mathbb{N}), pela parte (a) temos a^{b}>b.
  • Isso mostra explicitamente que existe um n\in\mathbb{N} (por exemplo n=b) tal que a^{n}>b. Logo (b) está provado.

Resposta

(a) Verdadeiro: para todo n\in\mathbb{N} tem-se a^{n}>n.
(b) Verdadeiro: existe n\in\mathbb{N} tal que a^{n}>b; por exemplo n=b satisfaz a^{b}>b.

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