Mostre que:
(a) Se
então
para todo
.
(b) Sejam
e
dois números naturais com
. Então, existe um número natural
tal que
.
(a) Se
(b) Sejam
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações para provar. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede (vou assumir que
e
são números naturais quando necessário, porque a afirmação é falsa para
real com
).
-
Dados:
- Para (a):
é um número natural com . Precisamos mostrar que para todo . - Para (b):
e são números naturais com . Precisamos mostrar que existe tal que .
- Para (a):
-
Pedidos:
- (a) Provar que
. - (b) Provar que
.
- (a) Provar que
Passo 2
Vou explicar a ferramenta principal que vou usar: o princípio da indução matemática (é uma técnica padrão para provar afirmações que valem para todo
).
- Princípio da indução (forma básica): para provar que uma propriedade
é verdadeira para todo , faz-se: - Base: prova-se
(ou dependendo da convenção). - Passo indutivo: assume-se que
é verdadeira para um (hipótese de indução) e a partir disso prova-se que também é verdadeira.
Se esses dois itens são verificados, entãovale para todo .
- Base: prova-se
Vou aplicar essa técnica à parte (a).
Passo 3
Base da indução para (a).
- Propriedade que queremos:
. - Verificar
: como é natural e , temos . Então logo . Assim é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução e objetivo do passo indutivo para (a).
- Hipótese de indução: suponha que existe um
com tal que - Objetivo: mostrar que então
Vou desenvolver a desigualdade passo a passo, explicando cada passo com cuidado.
Passo 5
Desenvolvendo o passo indutivo (parte central da prova).
- Começo com
e uso a hipótese : porque multiplicar uma desigualdade estrita por preserva a desigualdade. - Como
é natural e , temos . Então Portanto - Agora comparo
com . Para vale logo . Combinando tudo: Assim obtivemos , que era o que precisávamos.
Passo 6
Conclusão da prova por indução para (a).
- Fizemos a base (
verdadeira) e o passo indutivo (mostramos que ). Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo . - Portanto (a) está provado sob a hipótese
e (ou seja, ).
Passo 7
Prova de (b) usando o resultado de (a).
- Como em (b) também
e , podemos aplicar (a). Tomando (lembre que ), pela parte (a) temos - Isso mostra explicitamente que existe um
(por exemplo ) tal que . Logo (b) está provado.
Resposta
(a) Verdadeiro: para todo
tem-se
.
(b) Verdadeiro: existe tal que
; por exemplo
satisfaz
.
(b) Verdadeiro: existe