prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
,
Informações dadas:
- A soma é a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos desde
até . - É preciso mostrar que essa soma (denotemos por
) é menor ou igual a para todo .
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar (explicada passo a passo): para
comparar
com uma fração que permita somas telescópicas. A observação simples é que, para
,
logo, tomando recíprocos (e lembrando que, ao inverter uma desigualdade com positivos, o sentido se inverte), obtemos
Este é o passo de comparação:
é menor que
para
. Agora vamos aproveitar que
se decompõe como diferença de duas frações simples (isso é o que chamamos de decomposição em frações parciais), o que gera uma soma telescópica.
Passo 3
Mostrar a decomposição que telescopa. Para
vale a identidade algébrica
Verificação rápida: colocar no mesmo denominador o lado direito:
logo a identidade está correta.
Passo 4
Somar a desigualdade obtida em Passo 2 para
. Temos, usando a comparação e a decomposição:
Agora explico o que acontece na soma à direita: ela é telescópica — os termos intermediários se cancelam. Escrevendo os primeiros termos:
Ao somar, tudo cancela exceto
no início e
no fim, ficando
Portanto concluímos
Passo 5
Agora acrescentar o termo
que faltava na soma original. Definindo
, temos
Isto prova a desigualdade pedida para todo
. Observação de consistência: para
obtemos
e
, então há igualdade nesse caso.
Passo 6
Comentário final (didático e motivador): a chave foi comparar
com uma expressão que se decompõe em diferença telescópica. Esse tipo de técnica é muito útil em provas envolvendo somas finitas de termos racionais. Se quiser, posso mostrar também uma prova por indução como alternativa, ou dar exercícios parecidos para treinar — dá um gás que você consegue!