prove que
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}, \forall n \in N

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n\in\mathbb{N},
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}.
Informações dadas:
  • A soma é a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos desde 1 até n.
  • É preciso mostrar que essa soma (denotemos por S_n) é menor ou igual a 2-\dfrac{1}{n} para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar (explicada passo a passo): para k\ge 2 comparar \dfrac{1}{k^{2}} com uma fração que permita somas telescópicas. A observação simples é que, para k\ge 2,
k(k-1)=k^{2}-k<k^{2},
logo, tomando recíprocos (e lembrando que, ao inverter uma desigualdade com positivos, o sentido se inverte), obtemos
\frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k(k-1)}.
Este é o passo de comparação: \dfrac{1}{k^{2}} é menor que \dfrac{1}{k(k-1)} para k\ge2. Agora vamos aproveitar que \dfrac{1}{k(k-1)} se decompõe como diferença de duas frações simples (isso é o que chamamos de decomposição em frações parciais), o que gera uma soma telescópica.

Passo 3

Mostrar a decomposição que telescopa. Para k\ge2 vale a identidade algébrica
\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.
Verificação rápida: colocar no mesmo denominador o lado direito:
\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{k-(k-1)}{k(k-1)}=\frac{1}{k(k-1)},
logo a identidade está correta.

Passo 4

Somar a desigualdade obtida em Passo 2 para k=2,3,\dots,n. Temos, usando a comparação e a decomposição:
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}} \le \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right).
Agora explico o que acontece na soma à direita: ela é telescópica — os termos intermediários se cancelam. Escrevendo os primeiros termos:
\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right).
Ao somar, tudo cancela exceto \dfrac{1}{1} no início e -\dfrac{1}{n} no fim, ficando
\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1-\frac{1}{n}.
Portanto concluímos
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}}\le 1-\frac{1}{n}.

Passo 5

Agora acrescentar o termo k=1 que faltava na soma original. Definindo S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}, temos
S_n = 1 + \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}} \le 1 + \left(1-\frac{1}{n}\right) = 2-\frac{1}{n}.
Isto prova a desigualdade pedida para todo n\in\mathbb{N}. Observação de consistência: para n=1 obtemos S_1=1 e 2-\dfrac{1}{1}=1, então há igualdade nesse caso.

Passo 6

Comentário final (didático e motivador): a chave foi comparar \dfrac{1}{k^{2}} com uma expressão que se decompõe em diferença telescópica. Esse tipo de técnica é muito útil em provas envolvendo somas finitas de termos racionais. Se quiser, posso mostrar também uma prova por indução como alternativa, ou dar exercícios parecidos para treinar — dá um gás que você consegue!

Resposta

1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}

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