Resolva
Calcule or mdc (542,234)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o máximo divisor comum (mdc) entre os números 542 e 234.
Informações dadas:
  • Os dois inteiros são 542 e 234.
    O que se pede:
  • Determinar \mathrm{mdc}(542,234), ou seja, o maior inteiro positivo que divide simultaneamente 542 e 234.

Passo 2

Idéia da técnica que vamos usar (explicação didática): o algoritmo de Euclides.
Fato importante (que vale lembrar e que será usado várias vezes): se dividimos a por b e obtemos resto r, então
\mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(b,r).
Isso acontece porque qualquer divisor comum de a e b também divide r=a-b\cdot q, e recíproco. Na prática, aplicamos sucessivas divisões com resto até obter resto zero; o último resto não nulo é o \mathrm{mdc}.

Passo 3

Primeira divisão: dividir 542 por 234. Calcule o quociente inteiro e o resto:
542 = 234\cdot 2 + 74,
pois 234\cdot 2 = 468 e 542-468=74.

Passo 4

Pelo princípio anterior,
\mathrm{mdc}(542,234)=\mathrm{mdc}(234,74).

Passo 5

Segunda divisão: dividir 234 por 74:
234 = 74\cdot 3 + 12,
pois 74\cdot 3 = 222 e 234-222=12.

Passo 6

Atualizando,
\mathrm{mdc}(234,74)=\mathrm{mdc}(74,12).

Passo 7

Terceira divisão: dividir 74 por 12:
74 = 12\cdot 6 + 2,
pois 12\cdot 6 = 72 e 74-72=2.

Passo 8

Atualizando,
\mathrm{mdc}(74,12)=\mathrm{mdc}(12,2).

Passo 9

Quarta divisão: dividir 12 por 2:
12 = 2\cdot 6 + 0.
O resto é zero, portanto o algoritmo termina aqui.

Passo 10

Conclusão do algoritmo de Euclides: quando se obtém resto 0, o último resto não nulo (aqui 2) é o \mathrm{mdc}. Podemos então afirmar que
\mathrm{mdc}(542,234)=2.
Verificação rápida (racicínio): ambos 542 e 234 são pares, logo pelo menos 2 divide ambos; pelo algoritmo não existe divisor maior que divide ambos, então 2 é o máximo divisor comum.

Resposta

\mathrm{mdc}(542,234)=2

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