Mostre que se v=a i+b j neq 0 então u=araiza^2+b^2 i+braiza^2+b^2 j é um vetor unitario na mesma direção de v.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor v=a,i+b,jneq0 e define
u=araiza^2+b^2,i+braiza^2+b^2,j
Precisamos mostrar que u tem norma igual a 1 e está na mesma direção de v. Para isso vamos usar conceito de norma de vetor e de paralelismo (um vetor é paralelo a outro se for múltiplo escalar dele).

Passo 2

Calculamos a norma de v:
|v|=raiza^2+b^2
Como vneq0, temos |v|neq0, então podemos dividir por essa quantidade.

Passo 3

Reescrevemos u como múltiplo escalar de v:
u =1|v|,v =1raiza^2+b^2l(a,i+b,jr) =araiza^2+b^2,i+braiza^2+b^2,j
Isso mostra que u e v são paralelos (mesma direção), pois u=(1/|v|),v.

Passo 4

Agora verificamos a norma de u:
|u| =|1|v|,v| =1|v|,|v| =1
Alternativamente,
|u| =raizl(tfracaraiza^2+b^2r)^2+l(tfracbraiza^2+b^2r)^2 =raiza^2+b^2a^2+b^2 =1

Resposta

Como |u|=1 e u=(1/|v|)v, concluímos que u é um vetor unitário na mesma direção de v.

Exercícios relacionados