Mostre que a eq. (01) é solução do movimento harmônico amortecido apresentado em eq. (02), indicando a condição, caso exista. Identifique cada termo e faça analise dimensional (ou em termos de suas unidades) de cada termo que aparece na solução e apresente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a equação $ x(t) = X_{m} e^{(-\gamma / 2) t} \cos (\omega t+\phi) $ é uma solução do movimento harmônico amortecido dado por $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $. Para isso, vamos precisar entender equações diferenciais de segunda ordem, movimento harmônico amortecido e fazer análise dimensional dos termos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ x(t) $ é uma solução da equação de movimento. Isso quer dizer que, se substituirmos $ x(t) $ na equação $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $, a igualdade deve ser verdadeira. Então, nosso objetivo é calcular as derivadas de $ x(t) $ e substituir na equação para verificar se ela é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de $ x(t) $.
A função dada é:
Primeira derivada ($ \dot{x}(t) $):
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Segunda derivada ($ \ddot{x}(t) $):
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x(t) $, $ \dot{x}(t) $ e $ \ddot{x}(t) $ na equação de movimento $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $:
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
Primeiro, fatoramos $ X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} $:
Agora, observamos que os termos com $ \sin(\omega t + \phi) $ se cancelam:
E agrupamos os termos com $ \cos(\omega t + \phi) $:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ t $, o coeficiente de $ \cos(\omega t + \phi) $ deve ser zero:
Passo 5
Resolvendo a equação para encontrar a condição:
Essa é a condição que deve ser satisfeita para que $ x(t) $ seja uma solução da equação de movimento harmônico amortecido. Ou seja, a frequência $ \omega $ na solução deve estar relacionada com a frequência natural $ \omega_{0} $ e o coeficiente de amortecimento $ \gamma $ dessa forma.
Passo 6
Vamos identificar cada termo:
-
$ x(t) = X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos(\omega t + \phi) $: Representa a posição em função do tempo, com $ X_{m} $ sendo a amplitude máxima, $ \gamma $ o coeficiente de amortecimento, $ \omega $ a frequência angular da oscilação e $ \phi $ a fase inicial.
-
$ \ddot{x} $: A aceleração, segunda derivada de $ x(t) $.
-
$ \gamma \dot{x} $: Termo de amortecimento, proporcional à velocidade $ \dot{x} $.
-
$ \omega_{0}^{2} x $: Termo de força restauradora, com $ \omega_{0} $ sendo a frequência natural do sistema.
Passo 7
Agora, vamos fazer a análise dimensional de cada termo na solução $ x(t) = X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos(\omega t + \phi) $:
-
$ X_{m} $: Amplitude, unidade de comprimento
. -
$ \gamma $: Coeficiente de amortecimento, unidade de tempo inverso
. -
$ t $: Tempo, unidade
. -
$ \omega $: Frequência angular, unidade
. -
$ \phi $: Fase, adimensional.
Verificando as unidades na equação $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $:
-
$ \ddot{x} $: Aceleração,
. -
$ \gamma \dot{x} $: $ \gamma $ tem unidade
e $ \dot{x} $ tem unidade , então o produto tem unidade . -
$ \omega_{0}^{2} x $: $ \omega_{0}^{2} $ tem unidade
e $ x $ tem unidade , resultando em .
Todas as parcelas da equação possuem a mesma unidade
, o que confirma a consistência dimensional da equação.
Resposta
A função $ x(t) = X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos(\omega t + \phi) $ é solução da equação de movimento harmônico amortecido $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $ desde que a condição $ \omega^2 = \omega_{0}^{2} - \frac{\gamma^2}{4} $ seja satisfeita. Além disso, todos os termos na equação possuem consistência dimensional, garantindo a validade da solução apresentada.