Mostre que a eq. (01) é solução do movimento harmônico amortecido apresentado em eq. (02), indicando a condição, caso exista. Identifique cada termo e faça analise dimensional (ou em termos de suas unidades) de cada termo que aparece na solução e apresente.
x(t)=Xm e^(-gamma / 2) t cos (omega t+phi) ddotx+gamma dotx+omega0^2 x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a equação $ x(t) = X_{m} e^{(-\gamma / 2) t} \cos (\omega t+\phi) $ é uma solução do movimento harmônico amortecido dado por $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $. Para isso, vamos precisar entender equações diferenciais de segunda ordem, movimento harmônico amortecido e fazer análise dimensional dos termos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ x(t) $ é uma solução da equação de movimento. Isso quer dizer que, se substituirmos $ x(t) $ na equação $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $, a igualdade deve ser verdadeira. Então, nosso objetivo é calcular as derivadas de $ x(t) $ e substituir na equação para verificar se ela é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de $ x(t) $.
A função dada é:
x(t)
Primeira derivada ($ \dot{x}(t) $):
x(t) = Xm e^-gamma2 t cos(omega t + phi)
Usando a regra do produto:
dotx(t)
Simplificando:
dotx(t) = ddt [ Xm e^-gamma2 t cos(omega t + phi) ]
Segunda derivada ($ \ddot{x}(t) $):
dotx(t) = Xm ( -gamma2 e^-gamma2 t cos(omega t + phi) - e^-gamma2 t omega sin(omega t + phi) )
Aplicando a regra do produto novamente:
dotx(t) = Xm e^-gamma2 t ( -gamma2 cos(omega t + phi) - omega sin(omega t + phi) )
Simplificando:
ddotx(t)

Passo 4

Agora, vamos substituir $ x(t) $, $ \dot{x}(t) $ e $ \ddot{x}(t) $ na equação de movimento $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $:
x(t)
Substituindo:
dotx(t)
Vamos simplificar isso:
Primeiro, fatoramos $ X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} $:
ddotx(t)
Agora, observamos que os termos com $ \sin(\omega t + \phi) $ se cancelam:
ddotx + gamma dotx + omega0^2 x = 0
E agrupamos os termos com $ \cos(\omega t + \phi) $:
ddotx(t) + gamma dotx(t) + omega0^2 x(t) = 0
Simplificando:
Xm e^-gamma2 t ( ( gamma^24 - omega^2 ) cos(omega t + phi) + gamma omega sin(omega t + phi) ) + gamma Xm e^-gamma2 t ( -gamma2 cos(omega t + phi) - omega sin(omega t + phi) ) + omega0^2 Xm e^-gamma2 t cos(omega t + phi) = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ t $, o coeficiente de $ \cos(\omega t + \phi) $ deve ser zero:
Xm e^-gamma2 t

Passo 5

Resolvendo a equação para encontrar a condição:
omega^2 = omega0^2 - gamma^24
Essa é a condição que deve ser satisfeita para que $ x(t) $ seja uma solução da equação de movimento harmônico amortecido. Ou seja, a frequência $ \omega $ na solução deve estar relacionada com a frequência natural $ \omega_{0} $ e o coeficiente de amortecimento $ \gamma $ dessa forma.

Passo 6

Vamos identificar cada termo:
  • $ x(t) = X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos(\omega t + \phi) $: Representa a posição em função do tempo, com $ X_{m} $ sendo a amplitude máxima, $ \gamma $ o coeficiente de amortecimento, $ \omega $ a frequência angular da oscilação e $ \phi $ a fase inicial.
  • $ \ddot{x} $: A aceleração, segunda derivada de $ x(t) $.
  • $ \gamma \dot{x} $: Termo de amortecimento, proporcional à velocidade $ \dot{x} $.
  • $ \omega_{0}^{2} x $: Termo de força restauradora, com $ \omega_{0} $ sendo a frequência natural do sistema.

Passo 7

Agora, vamos fazer a análise dimensional de cada termo na solução $ x(t) = X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos(\omega t + \phi) $:
  • $ X_{m} $: Amplitude, unidade de comprimento x(t) = Xm e^-gamma2 t cos(omega t + phi) .
  • $ \gamma $: Coeficiente de amortecimento, unidade de tempo inverso Xm .
  • $ t $: Tempo, unidade [L].
  • $ \omega $: Frequência angular, unidade gamma .
  • $ \phi $: Fase, adimensional.
Verificando as unidades na equação $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $:
  • $ \ddot{x} $: Aceleração, [T^-1].
  • $ \gamma \dot{x} $: $ \gamma $ tem unidade t e $ \dot{x} $ tem unidade [T], então o produto tem unidade omega .
  • $ \omega_{0}^{2} x $: $ \omega_{0}^{2} $ tem unidade [T^-1] e $ x $ tem unidade phi , resultando em ddotx + gamma dotx + omega0^2 x = 0 .
Todas as parcelas da equação possuem a mesma unidade ddotx , o que confirma a consistência dimensional da equação.

Resposta

A função $ x(t) = X_{m} e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos(\omega t + \phi) $ é solução da equação de movimento harmônico amortecido $ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0 $ desde que a condição $ \omega^2 = \omega_{0}^{2} - \frac{\gamma^2}{4} $ seja satisfeita. Além disso, todos os termos na equação possuem consistência dimensional, garantindo a validade da solução apresentada.

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