No âmbito dos movimentos supersônicos, explique como se formam as ondas de choque (mostre como chegar a expressão do cone de Mach).
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido: precisamos explicar como se formam as ondas de choque em movimentos supersônicos e derivar a expressão do cone de Mach. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos e teoria das ondas, além de entender o que é o número de Mach.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre movimento supersônico. Isso acontece quando um objeto se move mais rápido do que a velocidade do som no meio em que está. Por exemplo, um avião que voa a mais de 343 metros por segundo no ar está em regime supersônico.
Passo 3
Quando um objeto viaja nessa velocidade, ele não consegue gerar ondas de pressão frontais como fariam em velocidades inferiores. Em vez disso, as ondas sonoras ficam acumuladas e comprimidas na direção do movimento, formando ondas de choque.
Passo 4
Essas ondas de choque se organizam em um formato cônico ao redor da trajetória do objeto. Esse cone é conhecido como cone de Mach. A metade desse ângulo é chamada de ângulo de Mach $ \theta $.
Passo 5
Para derivar a expressão do cone de Mach, vamos considerar duas velocidades importantes: a velocidade do objeto $ v $ e a velocidade do som no meio $ c $. O número de Mach $ M $ é definido como:
Passo 6
Imagine que o objeto está emitindo ondas sonoras enquanto se move. Em cada instante, uma onda sonora é gerada e viaja uma distância $ c $ em uma direção perpendicular à velocidade do objeto.
Passo 7
Depois de um pequeno intervalo de tempo $ \Delta t $, o objeto se move uma distância $ v \Delta t $. A onda sonora emitida nesse tempo forma um triângulo com hipotenusa $ v \Delta t $ e cateto oposto $ c \Delta t $.
Passo 8
Usando trigonometria, podemos relacionar o ângulo de Mach $ \theta $ com essas distâncias:
Passo 9
Para encontrar o ângulo $ \theta $, basta aplicar a inversa do seno:
Resposta
O ângulo do cone de Mach é dado por $ \theta = \arcsin\left(\frac{1}{M}\right) $, onde $ M $ é o número de Mach.